老师：同学们好，我是来自北京市三番中学的陈立雪。这节课我们一起来探究四点共园的条件。首先让我们一起来回顾一组结论，经过一点在平面内做圆，这样的圆有无数个。进一步的我们可以发现，圆心可以是平面内任意一个不同于点a的点。若经过2点在平面内做圆，这样的圆同样可以做出无数个。所有这些圆的圆心都在线段a、b的垂直平分线上。经过三点，a、b、c在平面内作圆需要分为两类情况，如果a、b、c三点是共线的，那么无法做出同时经过3点的圆。如果a、b、c三点都不贡献作a、b和b，seed垂直平分线后，可以找到一点到三个点的距离相等，以这一点为圆心，就可以做出同时经过a、b、c三点的圆。这说明过不贡献的3点可以确定一个圆。换句话说，经过任意一个三角形，它的三个顶点可以做一个圆，这个圆也是三角形的外接圆。当经过平面内四点的时候，情形又如何？根据3点的情况，我们会发现，如果4点当中有任意3点是贡献的，那么无法经过这4点来做圆。若其中任意的3点都不贡献，又能否作出经过4点的圆？换句话说过任意一个四边形的四个顶点能做一个圆吗？这就是我们本节课要来探讨的问题。
老师：我们先从一些特殊的四边形看起，对于正方形、矩形、平行四边形等腰梯形和直角梯形过它们的四个顶点能做出一个圆吗？我们先来看正方形的情况，正方形是一个正多边形，它的对角线互相垂直、平分且相等，因此对角线的交点o到4个顶点的距离是相等的，所以以o为圆心，o、a为半径的圆也同时经过了b、CD这三点。这说明过正方形的四个顶点可以做一个圆，这个圆的圆心是正方形。对角线的交点半径等于对角线的一半。
老师：在长方形中，我们可以用类似的方法得到对角线的交点o到四个顶点的距离是相等的，所以经过长方形的四个顶点可以做一个圆，这个圆的圆心也是对角线的交点，半径等于对角线长度的一半，那么对于任意的平行四边形，刚才的方法还适用吗？连接两条对角线交于点o，可以得到o，a等于oc，OB等于OD，但是OA和OB并不一定相等，这说明以o为圆心，OA为半径去做圆，这个圆并不一定经过b、d两点。但是这还不足以否定前面的结论，因为圆心也有可能在其他的位置。
老师：那接下来我们再从作图的角度来分析，如果一个圆要同时经过b、c两点，那么圆心要在线段bseed垂直平分线上。如果一个圆同时经过a、d两点，圆心在线段a、d的垂直平分线上。当这个平行四边形不是矩形的时候，这两条垂直平分线是互相平行的，他们没有公共点，这说明不能够做出同时经过a、b、c、d四个点的圆。事实上，从平行四边形中我们也能看出，如果由它的任意三个顶点确定出一个圆，它的第四个顶点并不一定经过这个圆。
老师：对于等腰梯形来说，上底a、d和下底bseed垂直平分线正好在一条直线上。在做a、b的垂直平分线交于点o，则我们可以说明o、a、O、b、o、c和o、d四条线段都是相等的。因此，以o为圆心，o
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