老师：同学们好，我是北京市育才学校的张卫宏老师。前几节课我们学习了元的有关性质，这节课是复习课。首先我们来梳理一下这些性质。圆的有关性质分为三部分内容。第一部分是由圆的轴对称性得到的垂进定律。学经定理的内容是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。交换它的提设垂直于险结论评分险这两项内容我们就可以得到它的推论，平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意，这里的弦一定不能是直径。在使用垂镜定理及其推论时，我们往往不需要做出直径，而只需做出半径或者或圆心做弦的垂线段即可。再连接OA就可以得到由半径OA、半弦aC和垂线段OC围成的直角三角形了。
老师：在这个直角三角形中，如果已知了圆心角、半径半弦和弦心锯四个量中的两个，我们就可以求出其他量了。特别的，如果我们知道了c、d场和弦场a、b，可以通过列方程来求出半径OAOD都是圆的半径r，aC是弦AB的一半，o，c是r减CD。由勾股定理，我们就可以得到r方减r减CD的方等于1/2a、b方。
老师：第二部分是由圆的旋转不得到的弧弦圆心角之间的关系。在同圆或等圆中，两个圆心角和他们所对的两条弧所对的两条弦三组量中，已知一组量相等了，其余两组量也相等了。第三部分是铜弧上的圆周角与圆心角之间的关系，以及圆内阶四边形的有关知识。首先，我们分三种情况分别证明了，无论圆周角的顶点在圆周的什么位置，只要它与圆心角所对的湖是同一条湖，那么这个圆周角始终等于圆心角度数的一半。继而推出了铜弧或等弧所对的圆周角相等。在这一部分里面，还有两个非常重要的定理，一个是半圆或直径所对的圆周角是直角，另一个是反之，90度的圆周角所对的弦是直径，所以做直径或者构造直径所对的圆周角都是圆内常用的辅助线。甚次，连接圆上四个点可以得到圆内接四边形、圆内梯四边形也可以看作是由两个圆周角拼起来的。由于这两个圆周角铜弧所对的圆心角合起来正好是360度，那么这两个圆周角和就是180度了。于是我们得到了原地基四边形对角互补这一信。据定理，又有一个圆周角的邻补角可以推出圆内阶，四边形的外角等于内对角，这是一个常用结论。
老师：好梳理完了元的有关性质，下面我们来做一道应用题。如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面离最低点的距离为0.2米时，水面的宽度为1.2米。球，当水面上升多少米时，水面宽度为1.65。通过审题，我们知道图中a、b等于1.25，做垂直弦，AB的直径交AB于e，图中EN的长度就是0.25。通过前面的学习，我们知道了如果已知了弦长，a、b和e、n的长，是可以立方程求出半径的。
老师：首先，我们由垂径定理可以知道，AE等于1/2的AB等于0.65，连接OA是未知的，我们设为x，在直角三角形OAE中，由勾股定理可知，AE方加上OE方等于OA方，AE是0.6，OE是x减0.2，OA是x。所以我们就有方程0.6方加上括号x减0.2，
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