老师：同学们好，我是来自北京市第八中学的张秋怡老师。上一节课我们学习了平方差公式，这节课我们继续来学习乘法公式，完全平方公式。下面请同学跟我一起先回顾以下知识，a的平方可以表示成什么？通过乘方的定义，我们知道a的平方可以表示成两个a相乘，那么a的平方就等于a乘以a。在前面的学习中，我们学习了整式的乘法，那么多项式与多项式相乘的法则又是什么呢？我们知道多项式与多项式相乘，就是用一个多项式的每一项去乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用符号语言表示，就是a加上b乘以p加上q等于a，p加a，q加上bp加bq。
老师：上一节课我们学习了乘法公式中的平方差公式，那么平方差公式又如何表述呢？我们把满足a加b乘以a减b等于a方减b方这样规律的式子，叫做平方差公式。从公式的结构形式上看，就是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。通过上节课的例题，我们知道公式中的ab既可以表示数，也可以表示式子。并且我们还可以发现，平方差公式其实就是多项式与多项式相乘的特殊形式。以后我们遇到满足这样形式的算式，就可以直接应用平方差公式，从而简化运算。
老师：在此基础上，我们来看下一个问题，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？我们先来看第一个式子，p加一和的平方。通过乘方的定义，我们知道p加一和的平方可以表示成p加一乘以p加一。再利用多项式与多项式相乘的法则，就可以得到p方加p加p再加一，最后合并同类项，就得到了p加一和的平方，等于p方加2P加1。
老师：同理，我们看第二个式子m加2和的平方可以表示成m加2，乘以m加2的形式计算，最后得到结果就是m方加4M加4。我们来观察这两个等式，你能发现什么规律吗？首先我们来看这两个等式的共同特征，等号左边分别是两个数和的平方的形式，而等号右边它的结果都是一个二次三项式，而这个二次三项式我们把它进行适当的变形。第一个式子，我们把这个式子中的中间项2P，写成2乘以p乘以一的形式。最后一项一写成一的平方的形式。第二个式子的中间项4M，我们写成2乘以m乘以2的形式。最后一项4我们写成2的平方的形式。这样我们就可以发现这两个三项式分别是等号左边这两个数等平方和，再加上这两个数乘积的2倍。于是通过这两个实例，我们得到了一个猜想，就是两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍。那么对于任意的两个数a、b，我们上述发现的规律还能成立吗？我们不妨可以进行如下计算，a加b和的平方，我们可以写成a加b乘以a加b的形式，再利用多项式乘以多项式的法则进行计算，就得到了a方加a，b再加b方，最后合并同类项，就得到了a方加r，ab加b方。于是我们得到了a与b和的平方，就等于a、b这两个数的平方和再加上他们乘积的2倍，满足上面的我们发现的规律。于是我们把a加b和的平方等于a方加2，a，b加b方这样规律的式子统称为两竖和的完全平方
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