老师：同学们好，我是北京小学天宁次分校的郭老师。今天我们一起来学习人教版六年级上册第八单元数学广角数与行的第一课时，同学们提到数学，你首先想到的是什么？
学生：我想到数学的学习离不开数，我们学过很多数，包括整数、小数和分数。除了数。
学生：我们还学过很多图形，比如正方形、长方形、平行、四边形等。
老师：同学们一定还有很多的联想。按照大家想到的内容分类，一类称为数，另一类可以称为行。数和行是我们数学学习中两个重要的研究对象。那么数与行之间有没有关系，又有着怎样的关系？通过今天这节课的学习，看看你有没有新的认识。首先我们一起来看一组图形，请同学们仔细观察这组图形，你能发现怎样的规律？将你的发现记录下来，开始，同学们完成了吗？我们一起听听他们的发现。
学生：这三幅图都有正方形，后面的这两幅图由小正方形组成，之后也是正方形。
学生：我还发现，第一幅图有一个小正方形，第二幅图有4个小正方形，第三幅图有9个小正方形。
老师：文文说。
学生：我发现的小正方形的个数也是149，但我是这样记录的，1*1=12*2=43*3=9。
老师：谁能看懂这组算式表示的意思？我们听听，天天的理解。
学生：我把算式和图结合着看，就很容易理解算式的意思了。我们横着一行一行的看一幅图，可以看作每行一个有一行，一共有1*1=1个小正方形。同理，第二幅图可以看作每行有两个，有两行，一共有2*2=4个小正方形。第三幅图一共有3*3=9个小正方形。
老师：小明有不同的解释，我们来听听。
学生：我是这样理解这组算式的，如果每个小正方形的边长是一厘米，那么第一幅图的面积就是1*1=1平方厘米。借助面积公式，还可以表示为边长的平方，也就是一的平方。第二幅图的边长是2厘米，面积就是2*2=4平方厘米，也可以表示为2的平方。第三幅度的边长是3厘米，面积就是3*3=9平方厘米，也就是3的平方。横着看，竖着看，都有这样的规律。
老师：同一个算式，几位同学观察的角度不同，对算式的理解也就不同。还有没有其他的想法，我们接着看。有一位同学是这样列式的，第一幅图用一来表示，第二幅图用1+2+1来表示，第三幅图用1+2+3+2+1来表示，你能看懂吗？看来有点难度了，没关系，老师给点提示。小婷看到老师的提示后说道，我看懂了，是斜着观察的，听听小婷具体是怎样分析的。
学生：我这次横着看，竖着看，都没有找到答案，所以我换了一个角度，我是斜着观察的。我发现的规律是这样的，就拿第三幅图来说，斜着看，从左上角这个小正方形开始，小正方形的个数可以用1+2加3加2+1来表示。
学生：噢，那我看明白了，第一幅图就是一，而第二幅图就是1+2+1，所以这幅图形整体的规律为，11+2+1，1+2+3+2+1。
学生：我发现这组算式都是连续几个自然数，从一开始加，像小山一样，然后逐渐减
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