老师：同学们好，同学们请看这是什么？对，钉子版。钉子版是一种数学学具，在小学低年级，钉子板帮助我们认识学习平面图形。今天我们借助钉子板来研究钉子板上多边形的奥秘。为了研究方便，我们用点子图来代替钉子板。点子图上相邻的四个点围成一个边长一厘米的正方形，它的面积是一平方厘米。老师在钉子板上画了一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少平方厘米？我们可以用公式来算一算，平行四边的底是3厘米，高是两厘米，它的面积就是6平方厘米。我们也可以用数方格的方法来数一数，整格的有4格，不是整格的，这是一格，这也是一格，合起来就是6平方厘米。
老师：同学们请看，同学们，钉子板上的多边形，我们可以用面积公式来算一算，也可以用数方格的方法来数一数，同学们请看，老师召画了一个多边形，这个图形有点复杂，那如何来计算它的面积？对，我们可以把它分割成规则的平面图形来计算，合起来就是17.5平方厘米。那么钉子板上的多边形我们都这样来计算，显然非常的麻烦，我们有没有什么巧妙的方法来进行计算？今天我们就来围绕这个内容研究。
老师：同学们，老师还画了这一组多边形，这些多边形的面积分别是多少平方厘米？第一幅图2平方厘米，第二幅图是3.5平方厘米，第三幅图是4平方厘米，第四幅图是4平方厘米。这些多边形形状各异，面积有大有小，那你觉得多边形面积的大小和什么有关？我们仔细来观察，这些多边形边上有钉子，多边形内也有钉子，那你觉得钉子板上多边形的面积的大小可能和什么有关？是钉子板上多边形的面积可能和多边形边上的钉子树、多边形内的钉子树有关。那钉子板上多边形的面积和多边形边上的钉子树、多边形内部的钉子树有怎样的关系？我们接着继续研究。
老师：同学们，请看这一组图，我们来数一数这组图，多边形内的钉子数和多边形边上的钉子数和多边形面积分别是多少？第一幅图，多边形内的钉子数是一，边上钉子数是4，面积2平方厘米。第二幅图，多边形内的钉子数是一枚，边上的丁子数12345677枚，面积是3.5平方厘米。第三幅图，多边形内的钉子数是一枚，边上钉子数是8枚，面积4平方厘米。
老师：第四幅图，多边形内的钉子数是两枚面，边上的钉子数是6枚，面积是4平方厘米。观察图形和表格，你有什么发现？我们可以发现多边形内的钉子树、多边形边上的钉子树、多边形的面积都在变化，那么在这个变化过程中，有没有确定不变的规律存在？我们沿着这个方向研究下去。我们来看这一组图，这一组图多边形内的钉子数一样，多边形边上的钉子数增加，多边形的面积也增加，多边形边上的钉子数越多，面积越大。我们再看这一组，这一组多边形边上的钉子数相同，多边形内的钉子数越来越多，面积越来越大。多边形边上的钉子数一定多边形内部的钉子数越多，面积越大。同学们，我们通过观察比较发现，钉子板上多边形的面积随着它内部的钉子树以及边上的钉子树的变化而变化。多边形的面积，多边形
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