老师：各位同学大家好，我是来自江西省信誉市第四中学的王坤明老师，今天由我来给大家讲授二项式定理的推导。这一节课在初中我们就学习了多项式的相关运算，比如a加b的平方的展开式为a的平方加RAB加b平方，那么a加b的立方。对的，我们只需要在完全平方公式的左右两侧同时乘以a加b，就可以得到。a加b的立方等于a的立方加3A平方，b加3A，b平方加b的立方，那么a加b的4次方。大家可以暂停视频动笔试着计算一下，a加b的4次方等于a的4次方加4A立方，b加6A平方b平方，再加4Ab的立方，加b的4次方，你算到了吗？那么更一般的a加b的n次方的展开式，我们确实可以基于刚才的计算方法继续往下计算下去，但是计算十分复杂，那么有没有一种比较快捷的方式用来处理这类二项和的n次方幂的展开问题？为了探究展开式的一般规律，我们首先从n等于r这一特殊情形入手。
老师：a加b的平方，也就是两个a加b相乘。根据多项式的乘法则，我们需要用第一个a加b中的a和b分别去乘第二个a加b中的a和b，即得到a平方ABBAB平方四项，再相加和病同类项，就可以得到a的平方加r，ab加b平方这一结果了。
老师：从技术原理的角度来看，其实就是分别从两个a加b中各取一个元素进行组合，然后观察组合之后的结果。为了将这一想法形象化，我们构建这么一个数学情境，现有两个盒子，每个盒子中各有两个小球，红球a，黑球b。先从两个盒子中各取一个小球放在一起。
老师：问，有几种不同的结果？我们不妨以取出的壁球的个数作为分类标准。若取出0个壁球，则两个盒子都取a，则我们得到的结果是AA。若取出一个b球，即一个盒子取b，一个盒子取a，则我们得到的结果是ab或者ba。若取出两个b球，则得到的结果是BB。
老师：这其实就是完全平方式的展开过程。三种取求结果分别对应展开式中的a平方、ab平方三项，而展开式的系数分别对应每种取求结果的方法数。通过左侧的图式列举，我们不难发现，三种结果的取求方法数分别为121，也就是说三项系数分别为121。那么除了使用列举法，你还能找到其他方法用来求展开适中三项的系数吗？比如，我们要产生一个a球，一个b球这一结果，则我们需要从两个盒子中选择一个盒子用来取壁球，所以对应的方法数也就是两个盒子中选择一个盒子的组合数，即CRE。如果要产生两个壁球，则应该从两个盒子中选择两个盒子用来取出b球，那么方法数应该是CRR。那么对于两个a球这一结果来说，不需要取出b球，则方法术也就是CR0了。
老师：也就是说，我们的展开式其实又可以写成，a加b的平方等于c，r0乘以a平方，加cr，e乘以a，b加cr，r乘以b平方。那既然a加b的平方的展开式可以从这个角度理解，那么a加b的地方类比刚刚的前进，现在有三个盒子，每个盒子中仍然有a、b两个小球各取出一个球，那么有多少种不同的结果？我们仍然以取出必求的个数作为分
查看隐藏内容
