老师：大家好，我是来自于江西省新余市第四中学的数学教师郭娟。今天我们一起来学习组合数及其性质。前面我们学习了组合的定义，一般的从n个不同元素中任取m个元素为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。那么如何计算所有的组合个数？所有的组合个数叫组合数，一起来看定义，从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作CNm，其中m小于等于n，n和m都属于正整数。
老师：组合与组合数是两个不同的概念。一个组合是指从n个不同元素中任取m个元素为一组，它不是一个数，而是具体的一件事，而组合数是一个数。例如，从三个不同元素a、b、c中每次取出两个元素的组合为AB，aC，b、c，其中每一种都叫做一个组合，而数字3是组合数，表示共有三种组合。又比如，6个朋友聚会，每两人握手一次，问一共握手的次数，每两人握手一次，无顺序之分是组合问题。从6个人中取出两人的一个组合，就是一次握手，故一共握手的次数是C6二种。
老师：好，我们回到前面那个问题。一，如何计算组合数CNM？我们试着通过探究排列数ANM与组合数CNM的关系来寻求答案。例如，从a、b、c、d这四个不同元素中取出两个元素进行排列，共有多少种？可能由前面学过的排列知识易得，共有A4R种排法。而这个排列问题也可以分解成以下两个步骤，第一步，从a、b、c、d这四个不同元素中取出两个元素，共有C4二种取法。
老师：第二步，将取出的两个元素进行排列，有AR二种排法。根据分布乘法技术原理得到共有C4R乘ARr总排法，即A4R等于C4R乘以ARr。由此我们得到c是r等于a是r除以AR，r等于6。我们可以将这种方法推广。一般的把从n个不同元素中取出m个元素进行排列。这件事可以分解成以下两个步骤，第一步，从n个不同元素中取出m个元素，有CNM总取法。第二步，将取出的m个元素进行排列，共有AMM总排法。根据分布乘法技术原理可得共有cn，m乘AMM总排法，即an，m等于c，n，m乘am。根据排列数公式，分子是从n开始的，m个数的乘积分母是m的阶乘。因此我们得到cn，m等于anm除以AMM。将该式变形分子分母同时乘n减m的阶乘，该分式可变为n的阶乘，除以m的阶乘，以n减m的阶乘，这个公式叫做组合数公式，规定CN0等于1。
老师：组合数公式有两种表达方式，第一个式子一般用于n和m较小时的计算。第二个式子一般用于n和m较大时的计算，或用于含有字母的组合数的式子进行证明。比如例题一，一计算C14二若C8M减一，大于3倍的C8M，求m的值。同学们先自己做一下。
老师：好的，大家都做完了吗？我们一起来看一下。第一题，计算C14的值，4和10数值较小，用公式一即可。分子是从10开始的，连续4个数的乘积，分母是4的阶乘，结果为210。第二题，由题e得m减1小于等于8大于等于0，且m小于
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