老师：同学们好，我是江西省宜春市第一中学的甘佩老师。今天我们一起来对正方体的解面进行探究，这是生活中的一些截面图，果蔬切开后的截面形状各异，那么大家思考一下，若切的是正方体，呈现出来的截面又会是什么样的形状？接下来我们就一起来探究正方体的截面。同学们可以思考一下，如果用一个平面去截正方体，可以得到哪些不同的截面？可以是三角形，可以是四边形，可以是五边形，可以是六边形。我们发现正方体的截面有三角形、四边形、五边形、六边形。其中边数最少的是三角形，边数最多的是六边形。那么大家思考一下，截面边数为什么最少的是三角形，因为组成一个封闭图形至少要有三条边，所以至少要是三角形。那么边数为什么最多的又是六边形？因为正方体只有6个面，截面的每一条边都是截面和正方体六个面之一相交得到的线段，因此最多边数不会超过6。下面我们继续来研究正方体的4种不同形状的截面。
老师：三角形、四边形、五边形、六边形各有什么性质？如果截面是三角形，按边分类，你认为可以截出几类不同的三角形？可以是等腰三角形吗？在第一个正方体中，当MBE和NBE相等时，我们通过几何画板的动画来进行观察，得到的截面m、n、p为等腰三角形，那么是否可以截出等边三角形在第二个正方体中，当MBENBEPB都相等时，得到的截面m、n、p记为等边三角形。
老师：按角分类能否截出直角三角形，请同学们独立思考。为了研究这一问题，把MBE的长度记为a，把NBE的长度记为b，把PB的长度记为c。由勾股定理可以表示出，mn平方等于a方加b方，mp方等于a方加c方，np方等于b方加c方，从而得到mn的平方加。MP的平方会等于ra方加，b方加，c方大于np方。同理可得mn方加，np方会大于mp方，mp方加np方会大于mn方。由余弦定理我们可以知道三角形MNP，它的三个角都是锐角，所以截面三角形MNPb为锐角三角形，而不可能是直角三角形和钝角三角形。大家接着思考一下，哪一个三角形截面，它的面积会是最大的？
老师：我们可以发现，当m运动到A1N运动到C1P运动到b时，截面三角形的面积是最大的。因为此时三条边都达到了最大值，且为面对角线，所以此时所对应的三角形截面面积最大。接下来继续思考，如果截出的是四边形，可以是矩形吗？我们可以看到截面AAENP即为矩形，可以是菱形吗？不难看出，当MP分别取AE、BE和CD终点时，截面AMCEP记为菱形。那么大家再思考一下是否可以为正方形？当我们用一个以正方体前后两个面平行的平面去截正方体，那么截出来的截面记为正方形，还可以是等腰梯形吗？当MBE等于NBQB等于PB时，我们得到的四边形MNPQ记为等腰提醒。那么可以是直角梯形吗？在第二个正方体中点MN运动时，我们来看到角MQP。当角MQP为直角时，此时截出的四边形并非梯形，而是矩形，所以截得的梯形不可能是直角梯形。如果截面是五边形，可以是正五边
查看隐藏内容
