老师：同学们好，我是江西省宜春市第一中学的数学教师吴林。今天我们要学习的内容是用向量方法研究立体几何中的度量关系。第四课时，本节课我们重点学习用向量方法度量立体几何中的一些距离问题。几何学中经常需要计算两个图形间的距离，那两个图形间的距离是如何定义的？一个图形内任意点与另一个图形内任意点的距离的最小值，通常叫做这两个图形的距离。下面我们一起回顾下平面内点到直线距离的计算方法。问题，同一平面内点p是直线LY的一点，如何求出点p到直线l的距离？方法一，综合几何方法，首先如图，过点p作直线l的垂线垂足为点。第一则点p到直线l的距离为PDE的长度，在连接PAPB求解该距离可转化为求三角形PAB的高，可在直角三角形PDEB中借助勾股定理进行计算。
老师：在平面解析几何的学习中，我们还学到了方法二，解析几何方法。如图，建立平面直角坐标系，确定点p的坐标以及直线l的方程，再利用点到直线的距离公式，即可得点p到直线l的距离PDR的长度。最后，在平面向量的学习中，我们学到了方法三，平面向量方法。先求出直线l的单位法向量N0，根据投影向量的概念，结合图形可得点p到直径l的距离PD3就是向量PA在法向量N0方向上的投影向量的长度。根据头影向量长度的计算方法，即PD三的长度等于向量PA与单位法向量N0数量积的绝对值。
老师：另外，在前面的学习中，我们已经归纳过用向量的方法计算空间中点到平面距离公式，若向量而0是平面阿尔法的单位法向量，点a是平面阿尔法内任意已知点，设点，p到平面阿尔的距离为d。根据投影向量的概念，点p到平面阿尔法的距离d等于向量pa与单位法向量N0数量积的绝对值。
老师：类比，平面内点到直线的距离空间中点到平面的距离计算方法，我们一起来探究空间中点到直线的距离。如图，空间中p是直线ly的一点，如何用向量的方法求出点p到直线l的距离？能不能借助投影向量的概念，将点p到直线l的距离PP撇转化为向量PA，在直线l单位法向量N0方向上投影向量的长度。经过思考，我们会发现空间中垂线段PP撇所在的方向量，也就是直线l的法向量N0，求取较为困难。但是空间中直线l的方向项链L0更容易求，下面我们认真思考一下。当知道直线l的方向项链L0，点a是直线l上任意已知点，如何利用这些条件求点p到直线l的距离？结合图形，先求向量Pa在L0方向上的投影向量p撇a的数量，然后在直角三角形PP撇a中运用勾股定理求PP撇的长度即可，即PP撇的长度等于向量PA的模的平方减去投影数量的平方开根号。再根据投影数量的计算方法，进一步等于向量PA模的平方减去向量PA与向量L0数量积绝对值的平方开根号。由此，根据投影向量的概念，即介入勾股定理。
老师：我们可以归纳一下空间中点到直线的距离向量公式，设点p到直线l的距离为d，则距离d等于向量PA模的平方，减去向量Pa与L0数量积绝对值的平方，再
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