老师：同学们大家好，我是宜春市第一中学教师陈瑶。这节课我们一起来学习用向量方法研究立体几何中的度量关系。第二课时，这节课我们主要是学习用向量方法研究空间中的角。在上节课，我们已经学习了两条直线的夹角，直线与平面的夹角。那这节课我们继续来学习平面与平面的夹角。这节课的学习目标是，一、理解平面与平面的夹角与两个平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求平面与平面的夹角的大小。
老师：二、体验向量方法在解决立体几何问题中的作用。三、提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等核心素养。在必修课程中，我们已经学习了暗面角的平面角，如图所示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做暗面角的棱，这两个半平面叫做暗面角的面。以暗面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做暗面角的平面角。
老师：根据以上信息，我们知道做暗面角的平面角必须要满足三个要素，确定2面角的棱上一点。经过这点分别在两个半平面内引射线，三索引的射线都垂直一棱。除了几何法外，我们再来探究一下如何用向量法求平面与平面的夹角。我们知道两个平面相交形成4个二面角，那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系，我们选择其中一个暗面角来研究，如图所示，平面Alpha与平面北塔相交于直线l。我们来观察一下暗面角阿法l、贝塔，看看它的平面角与平面r法北塔的法向量有怎样的关系。我们可以过平面外一点，p做p，a垂直于Alpha，雨点a做PB垂直于北塔雨点b。那么向量PA就是平面阿尔法的一个法向量。
老师：PB是平面北塔的一个法向量，因为PAPB是两条相交直线。可以确定一个平面设平面PAB交直线l以点o连接a，obo，因为PA垂直于平面Alpha，则有PA垂直于直线l。同理，PB垂直于平面贝塔，所以PB也垂直于直线l。则有直线l垂直于平面PAB中的两条相交直线，所以l垂直于平面PAB，于是可以得到l垂直于OAL，也垂直于OB。
老师：根据二面角的平面角的定义，我们知道角AOB就是二面角阿法l北塔的平面角又在四边形PAOB中。因为角PAO等于角，PBO等于二分之派，所以可以得到角AOB加角APB等于派。所以我们知道暗面角的平面角与这两个平面的垂线的夹角存在一定的关系。
老师：如果假设平面r法平面北塔的法向量分别为向量N1和向量N2，阿面角阿尔法l北塔的平面角为c塔，则我们可以发现，如图一所示，此时c塔等于向量N1与向量N2的夹角。如图2所示，此时c塔与向量N1、向量N2的夹角互补，也就有seed等于派减向量N1与向量N2的夹角。这就说明r面角r法l贝塔的平面角。以两法向量N1和N2的夹角的关系是相等或互补，所以Sita的余弦值的绝对值等于向量N1与向量N2夹角的余弦值的绝对值。
老师：然后我们可以借助向量公式对其进行运算，因为二面
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