老师：同学们好，我是江西省宜春市第一中学数学教师吴林。今天我们要学习的内容是用向量方法研究一体几何中的度量关系。第三课时，本节课我们重点学习用向量方法度量立体集合中的一些距离问题。几何学中经常需要计算两个图形间的距离，那两个图形间的距离是如何定义的？一个图形内任意点与另一个图形内任意点的距离的最小值，通常叫做这两个图形的距离。下面我们一起来回顾一下平面内点到直线距离的计算方法。问题，同一平面内点p是直线LY的一点，如何求出点p到直线l的距离？方法一，综合几何方法，首先如图，过点p做直线l的垂线垂足为点D1，则点p到直线l的距离为PDE的长度。在连接PAPB求解该距离可转化为求三角形PAB的高，可在直角三角形PDEB中借助勾股定理进行计算。
老师：在平面解析几何的学习中，我们还学到了方法二，解析几何方法如图，建立平面直角坐标系，确定点p的坐标及直线l的方程，再利用点到直线的距离公式，即可得点p到直线l的距离PDR的长度。最后，在平面向量的学习中，我们学到了方法三，平面向量方法先求出直线l的单位法向量N0，根据投影向量的概念，结合图形可得点p到直线l的距离PD3就是向量PA在法向量N0方向上投影向量的长度。根据投影向量长度的计算方法，GPT3的长度等于向量PA与单位法向量N0数量积的绝对值。
老师：类比平面内点到直线的距离计算方法，我们一起来探究。空间中点到平面距离计算方法如图，过平面外点p作p，p撇垂直于平面Alpha，垂足为p撇，则垂线段PP撇的长度就是点p到平面Alpha的距离。那如何计算垂线段PP撇的长度呢？如果回族批撇的位置已知点a是平面阿尔法内任意已知点类比计算平面内点到直线距离的方法。一、综合几何法连接PAP撇a，结合图形垂线段PP撇的长度可在直角三角形PP撇a中借助勾股定理进行计算。但在许多具体问题中，过点p作平面阿尔法的垂线垂足p撇的位置不容易得到。类比。用平面向量的方法计算平面内点到直线的距离，我们能否用空间向量的方法计算空间中点到平面的距离？首先给定向量N0是平面Alpha的单位法向量。结合图形，根据投影向量的概念，垂线段PP撇的长度就是向量PA，在法向量N0方向上投影向量的长度。再根据投影向量长度的计算方法，垂线段PP撇的长度等于向量PA与单位法向量N0数量积的绝对值。
老师：由此，根据投影向量的概念，我们可以归纳出空间中点到平面距离向量公式，sir点p到平面阿尔法的距离为d，则距离d等于向量pa与单位法向量N0数量积的绝对值。其中向量N0是平面Alpha的单位法向量点a是平面Alpha内任意已知点。下面我们通过例题进一步加深对该公式的理解。
老师：例一，如图，在空间直角坐标系中有单位正方体a、b、c、da撇b撇c撇d撇。求正向量aC撇是平面a撇b、d的一个法向量。求点c撇到平面a撇b、d的距离。首先来看第一问，求证
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