老师：大家好，我是江西省宜春市第一中学老师彭武军。今天我们要学习的内容是用向量方法研究立体几何中的位置关系。第一课时，我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和长度的问题。我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键。平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，如何用向量方法进行研究？因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键因素，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平面间的平行和垂直关系。那么，如何用向量方法表示几何位置关系。设向量l、m分别是直线l、m的方向向量N1、N2分别是平面阿尔法北塔的法向量。尝试用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系，并思考如何用向量方法证明这些问题。有的问题比较简单，只是将几何语言转化为向量语言，如证明两条直线平行，可以转化为证明这两条直线的方向量是否贡献。但有的问题较为复杂，不仅仅是几何语言与向量语言的转化，还涉及证明的方法。如用向量方法证明直线l平行于平面Alpha，可以有以下几种思路。
老师：思路一，若只从直线的方向向量和平面的法向量考虑，设向量l是直线l的方向，向量N1是平面阿尔法的法向量，则只需证明l垂直于N1。当然，这里面的前提是直线l必须在平面阿尔法y。思路二，考虑向量与平面平行的定义以及平面向量基本定理，从而得到如下证明方法，将直线l的方向量l用平面阿尔法的e组及线性表示，此时必有l平行于Alpha。思路三，直接将线面平行的判定定理向量化，找到阿尔法内的一条直线m，写直线l与m的方向量共线即可。由此可见，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述，另一方面也需要结合向量自身的特点，下面我们重点来分析一下如何用直线的方向向量和平面的法向量来证明一些常见的线面平行垂直关系。我们设向量l、m分别是直线l，m的方向向量。向量N1、N2分别是平面阿尔法。北塔的法向量，则要证明l与m平行或l与m重合，等价于证明方向向量l平行于m，要证明l平行于阿尔法，或l在阿尔法内等价于证明方向向量l垂直于法向量N1，要证明阿尔法平行于贝塔，或阿尔法与贝塔重合，只需等价证明法向量N1与N2贡献。要证明l与m垂直，等价于证明它们的方向向量l与m互相垂直。要证明l垂直于Alpha，则等价于证明方向向量l平行于法向量N1，而要证明阿尔法垂直于北大，则等价于证明法向量N1垂直于N2，即可。
老师：探究点二，用向量方法证明一些立体几何中的定理，如直线与平面垂直的判定定理，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与子平面垂直。要证明该定理，先写出已知，求证。已知。如图，a、b是平面Alpha内的两条相交直线n垂直于a，且直线n垂直于b。求证n垂直于Alpha。分析，设m是平面Alpha内的任意一条直线
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