老师：各位同学，大家好，我是江西省宜春中学数学教师蔡乐享，很高兴与大家上这节课。今天我们来学习直线的方向向量与平面的法向量。在前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是，首先将立体几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体几何问题。几何特征的代数表述起着重要作用。我们知道立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形。因此，用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来。那么，如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线？这就是这节课我们将要学习的内容。
老师：首先我们思考一下如何用向量表示空间中的一个点p。我们知道空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的，所以要表示空间中的疑点，我们需要先选定某一固定的参照物。如图，在空间中，我们取一定点o作为基点，那么空间中那一点p就可以用向量OP来表示。我们把向量op称为点p的位置向量。那么空间中一条直线l又如何用向量表示？由2点确定一条直线可知，若给定直线上的两点，则这条直线的位置也就唯一确定了。所以我们用直线上两点构成的向量来表示直线罗图设点a、b是直线l上不重合的任意两点，称向量a、b为直线l的方向向量。
老师：技能，直线上不同的两点构成的向量就是直线的方向向量。那么一条直线有多少个方向量？我们容易发现，我们可以在直线上取出无数个由不同的两点构成的向量，所以一条直线的方向向量有无数个，且这些向量都是与向量a、b平行的，所以与向量a、b平行的任意非0向量a也是直线l的方向向量股。一条直线有无数个方向向量，且这些方向向量都是平行的，我们可以用方向量来表示直线。如果给定直线上的一点，即这条直线的方向能否确定这条直线的位置？如图，已知点m是直线l上的一点非0向量a是直线l的一个方向向量。显囊，直线l的位置被唯一确定，即空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一定点和该直线的方向向量唯一确定。因此，我们可以用直线上的一点及这条直线的方向量来确定直线的位置。由直线l上的一个定点m和方向量a可以确定直线l，且直线的所有方向向量都平行。所以对于直线l上的任意点p一定存在实数t，使得向量mp等于t乘以向量a。反之，有几何之时不难确定满足上市的点p一定在直线l上。其中我们将向量mp等于t，乘以向量a，称为直线l的向量表示。
老师：我们来看例题。在空间直角坐标系中，已知点a的坐标为4逗2逗0，点b的坐标为一逗三豆桑。点一是线段a、b上的一点，且A1等于1/2的ab，求点一的坐标。我们来分析一下这道题，已知了直线上的两点a、b的坐标以及直线上另一点一的位置，要求出点一的坐标。所以我们先假设点一的坐标为X1，都Y1，都Z1。有体亦可知向量a、b的坐标为-3豆一豆三，且向量A1等于1/2的向量ab，所以将向量A1与向量ab的关系用坐标表
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