老师：各位同学大家好，我是来自江西省渝春中学的黄家清老师。今天很高兴与大家上这节课。首先我们先来回顾下上节课的内容。上节课我们学习了空间向量基本定理，大家还记得它的内容吗？不错，如果向量a、b、c是空间三个不顾面的向量p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组x、y、z，使得向量p等于x。向量a加y倍的向量b加z倍的向量c。我们把集合a、b、c叫做空间的一组鸡，其中a、b、c都叫做鸡向量。这是我们前面所学的内容。现在我们在空间直角坐标系o杠、x、y、z中分别沿x轴、y轴、z轴正方向左单位向量i、j、k这三个互相垂直的单位向量就构成了空间向量的一阻积。这组机我们把它称作是标准正交机。根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p都存在唯一的三元有序实数组x，y，z会使得向量p等于xi加y，j加z，k。这样我们就把空间向量与三元有序实数组建立了一一对应的关系。
老师：我们把三元有序实数组x，y、z叫做向量p。在标准正交机i、j、k。下的坐标g可以表示成向量p等于x，y，z。此时我们把单位向量i，j，k叫做坐标向量x，i，y，j，z，k。实际上分别是向量批在i，j，k。方向上的投影向量x，y，z，分别是向量p在i、j，k。方向上的投运向量的数量。同时我们知道空间向量是可以任意平移的，即对于任意一个向量批，均可以把它的起点平移到与原点重合。若中点为p，则向量o，p等于向量p。若设p点坐标为x，y，z，则根据空间向量的加法则，我们可以得到向量OP等于XI加YJ加z，k，于是就得到向量OP的坐标为x，y、z。
老师：也即在空间直角坐标系中，任意一个向量都可以用一个点的坐标唯一表示，那么大家思考下，若点a的坐标为X1，Y1，Z1，点b的坐标为X2，Y2Z2，那么向量a、b的坐标是多少？根据空间向量的运算，a、b向量会等于o，b向量减o，a向量。根据空间向量基本定理，OB会等于XRI加YRJ加ZRKOA会等于XEI加YEJ加ZEK。因此，a、b向量就会等于x，r减X1，括号乘以i向量，加上y，r减Y1，括号乘以j向量加上z，r减Z1，括号乘以k向量。
老师：再由空间向量的坐标表示，可得，a、b向量会等于x，r减X1，Y二减Y1，Z2减Z1，即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的、终点的坐标减去起点的坐标与平面向量的坐标表示是相类似的。同样的，我们知道平面向量的坐标表示中，加法与减法分别是对应坐标相加与相减数，乘向量会等于实数，分别乘以横纵坐标，两个向量的数量积会等于横坐标之积与纵坐标之积的和。那么，大家能类比平面向量运算的坐标表示，才讲空间向量运算的坐标表示吗？类似的，我们可以得到，在空间向量中，两个向量的加法与减法分别是对应坐标相加与相减数，乘向量也会等于实数与横总数坐标的乘积数量积应该也会等于横总数坐标之积的和，这只是大家的猜
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