老师：各位同学大家好，我是来自宜春市第九中学的周荣老师。这节课我们来继续学习空间向量的运算。在上节课有关空间向量线性运算的学习中，我们已经知道了通过将空间内任意两个向量平移至一个平面内，把空间向量的问题转化为平面向量的问题，再进一步进行解决。今天我们所要研究的空间向量的数量机问题也是遵循这一思路来进行的。在此我们可以参照平面向量的数量机定义来定义空间向量的数量机。
老师：首先我们来看到空间向量的夹角，如图，已知两个非零向量a，b在空间内任取一点o做向量o，a等于向量a，向量OB等于向量b，则角AOB叫做向量AB的夹角记作尖，括号AB。那我们要注意的是，向量夹角的范围在0到派之间。
老师：第二，向量a与向量b的夹角等于向量b与向量a的夹角。第三，如果向量a与向量b的夹角等于90度，那么向量ab互相垂直，记作向量a垂直向量b。既然我们可以直接给出空间向量的数量级定义，在这里将原来的两个平面向量ab改为两个空间向量即可。已知两个空间向量ab。把向量a的模乘向量b的模乘以ab的夹角的余弦，叫做向量a与向量b的数量机g做向量a。点向量bg。向量a与向量b的数量机等于向量a的母乘以向量b的母乘以向量a与向量b夹角的，余弦。
老师：这里要注意的是，第一，两个向量数量级运算的结果的数量不是向量0，向量与任意向量的数量积都等于0。空间向量数量积的性质也与平面向量数量积一致，有以下三个性质，一、两向量垂直，即等价于两向量数量积为0。在涉及到求亩长的问题时，我们仍然可以利用向内a与自身做数量积等与向内a的母物的平方这一性质来解决。
老师：第三，在涉及到求空间向量夹角的问题时，仍然是通过向量的摄像机除以两向量的模，等于两向量夹角的余弦。空间向量的数量积运算也有交换率、分配率和数乘结合率。在处理向量运算的时，可以类似的看成多项式进行运算。平方差公式和完成平方公式等常用的公式仍然适用，但是和平面向量一样，空间向量运算没有除法，同时也不满足结合率。
老师：我们来看第一个例题。已知向量a和向量b的夹角为e80度，且向量a的模等于2，向量b的模等于5，则2倍的向量a减向量b的差与向量越的摄像机等于什么？a、b、c、d四个选项。在此我们将2倍的向量a减向量b与向列域的数量积按照代数式运算的规则进行展开，得到2倍的向量a与向量a的数量积，减去向量b与向量a的数量积。我们知道向量a与自身做数量机可以用向量a的平方来表示，所以原式表示为2倍的向量a的平方减去向量a与向量b的数量积，而向量a的平方等于向量a的摩的平方，所以原式会等于2倍的向量a的模的平方减去a的模，乘以向量b的模，乘以向量a。
老师：b夹角的余弦，将其中条件带入，可以计算出结果为8，减去-5，最终结果为13，所以这一题选d。接下来我们来研究空间向量数量机的几何意义与平面向量的相关概念一致，要求空间内两向量
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