老师：同学们好，我是江西省宜春市第一中学的甘佩老师。本节课我们将在前两节课的基础上类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理，在平面内任意给定两个不贡线的向量a、b。根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p存在唯一的有序实数对xy，使得p向量等于x倍的a向量加y倍的d向量。特别的，当a向量b向量为直角坐标平面内的向量时，向量p就以坐标xy建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便。
老师：那么，对于空间向量有没有类似平面向量基本定理的结论？如图，设a向量，b向量，c向量是空间三个不顾面的向量，p向量是空间任意向量。是否可以用向量aBC来表示向量批，如图，过空间任意点o做o，a向量等于a向量，ob向量等于b向量，oc向量等于c向量。因为向量ABC不顾面，所以OABC四点不顾面做OP向量等于p向量。
老师：当点p不再直线OC上时，过点p座椅OC平行的直线焦平面AOB与点q，则QP向量平行OC向量，故存在实数z，使得QP向量等于z倍的OC向量等于z倍的c向量。在平面AOB类，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数。对XY，使得OQ向量等于x倍的OA向量，加y倍的o，b向量等于s倍的a向量，加y倍的b向量，从而存在唯一的三元有序实数组x，yz，使得p向量等于oq向量。再加上QP向量等于x倍的a向量，加y倍的b向量，再加这一倍的c向量。
老师：当点p在直线OC上，则p向量平行c向量，故存在唯一的实数z，使得p向量等于z倍的c向量，从而也存在唯一的三元有序实数组，x、y、z等于零，零z使得p向量等于x倍的a向量。加y倍的b向量加z倍的c向量。空间向量基本定理，如果向量、a向量、b向量、c向量是空间三个不顾面的向量，p向量是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组x、y、z，使得p向量等于x倍的a向量。加y倍的b向量加z倍的c向量。
老师：由上述定理可知，如果向量a、b、c是空间三个不固面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是p向量。p向量等于x倍的a向量加y倍的b向量加z倍的c向量，XY，z属于r。这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的。这时我们把a向量b向量、c向量组成了集合，叫做空间向量的一组积。其中a向量b向量、c向量都叫做迹象量。空间。任意三个不顾面的向量都可以构成空间向量的一阻击。让我们一起思考一下如何证明空间向量基本定理中三元有序实数组的唯一性。
老师：首先我们假设还有另一个三元有序实数组，X1撇，Y1撇，Z1撇也满足，p向量等于X1撇倍的a向量加y，一撇倍的d向量加z一撇倍的c向量，则x减x一撇倍的a向量加y减y一撇倍的b向量加z减z一撇倍的c向。量就会等于0向量。不妨是x不等于x一撇，则a向量就会等于负。
老师：x减x一撇分之y减y一撇倍的b向量减x，一撇分
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