老师：同学们大家好，我是来自江西省宜春中学的黄霞清，很高兴与大家上这节课。在上这节课之前，我们先回顾下上节课学习内容。上节课我们学习了空间向量运算的坐标表示，直到空间向量的线性运算及数量级的坐标表示。那么大家想想看，除了线性运算与数量级问题外，我们能否用空间向量的坐标表示长度与夹角问题。
老师：我们知道平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题，那么空间向量的坐标运算也可以帮助我们解决这些问题。根据上节课的内容，我们可以采用类比平面向量的方法来解决空间向量的长度和夹角问题。在平面向量中，我们知道向量a的模等于根号X1的平方，加上Y1的平方。向量a、b夹角的移弦值在向量a、b为非0向量时会等于X1，X2加Y1，Y2除以根号X1的平方，加Y1的平方。成语，根号X2的平方加上Y2的平方。并且，如果我们已知a、b点的坐标，则两点间的距离等于根号。横坐标之差的平方加上纵坐标之差的平方。同理，我们可以得到空间向量的模为根号X1的平方，加上Y1的平方，再加上Z1的平方。向量a、b夹角的移弦值在向量a与向量b不为0向量的情况下，等于X1，X2加Y1，Y2加Z，Z2除以根号X1的平方加上Y1的平方，再加上z、e的平方，乘以根号X2的平方加上Y2的平方，再加上Z2的平方。两点间的距离等于根号横坐标之差的平方加上纵坐标之差的平方，再加上竖坐标之差的平方。所以我们发现，空间向量的运算只需在平面向量运算的基础上再加上竖坐标的运算即可。
老师：下面我们来看两道例题。先看例题，一、已知空间三点abseed坐标求线段Ab的长和角b，aseed大小。根据题目意思，我们要求角baseed大小。根据我们求角的思路，常见的是解三角形和利用向量求夹角。当然这道题目大家可以利用距离公式求出边长ab、aC与bseed长度在利用三角形中的移弦定理求出角baseed移弦值，以此来求出角baC。这种方法大家课后可以去尝试。
老师：下面我们换一种思路，利用空间向量求家教。而要用向量求夹角，就必须求出向量ab与向量aseed数量积与模长。因此我们先求出向量ab与向量aseed坐标，而这两点的坐标就需要利用到上节课所学习到的空间向量中。两点坐标公式即等于终点坐标，减去起点坐标也计得到向量ab的坐标为2一，向量aseed坐标为101。
老师：在利用空间向量的摹长公式得到ab。向量的摹会等于根号2的平方，加一的平方也计等于根号6。同理，可以得到向量AC的膜等于根号一的平方，加0的平方，加一的平方也计根号2。而向量a、b点乘向量aC等于对应坐标之积的和，也记2乘以一加上一乘以0，加上一乘以1，也即等于3。所以代入向量夹角的移弦公式可以得到扩sin。
老师：向量a、b与向量aseed夹角等于3，除于根号6，乘以根号2，也计等于2分之根号3。而这两个向量的夹角取值范围为
查看隐藏内容
