老师：各位同学，大家好，我是江西省宜春中学数学教师蔡乐祥，很高兴与大家上这节课。今天我们继续一起学习直线的方向向量与平面的法向量。通过上一节课的学习，我们已经会利用空间向量表示空间中的点与直线，并且知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线。类似的空间当中给定一点和一条直线后，能否确定一个平面了？如图，给定空间中一点a和一条直线l，那么过点a且平行于直线l的平面有多少个？我们很容易根据立体几何的知识知道这样的平面有无数个股。过点a且平行于直线的方式不能确定一个平面。过点a且垂直于直线l的平面又有多少个？我们可以发现这样的平面只有一个，所以能确定一个平面。
老师：如果一条直线l和一个平面Alpha垂直，那么我们就把直线l的方向量n叫做平面阿尔法的法向量，则向量n垂直平面阿尔法。根据平面的法向量的定义，同学们思考一下，平面的法向量是唯一的吗？我们不难发现，平面的法向量肯定不是唯一的，为什么呢？因为直线l的方向向量有无数个，因此平面Alpha的法向量也有无数个。
老师：有了平面的法向量后，我们如何利用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置？首先我们可以回到立体几何的知识，我们回忆一下什么叫做直线与平面垂直？直线与平面垂直又具有怎样的性质？经过前面立体几何知识的学习，我们知道如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线LLAMA，该直线就垂直该平面。如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的任意一条直线。
老师：因此我们可以将这个问题具体化为设定m是平面Alpha类给定的一点直线l垂直平面Alpha，那么对于平面阿尔法类，嫩一点p都有直线l垂直于mp，我们用向量来表示，就是如果向量n是平面阿尔法的一个法向量，那么对于平面阿尔法类任意一点p都有向量mp。
老师：语法向量n垂直，也就有向量mp。语法向量n的数量积等于0。其实反过来，由立体几何的知识可以证明，满足向量mp余向量n的数量积等于0的点p也都在平面阿尔法内。所以把向量mp与法向量n的数量积等于0，成为平面阿尔法的一个向量表示式。我们已经学会了表示平面当中的点了。
老师：那么怎么用向量来表示平面呢？若平面阿尔法的法项列n的坐标为a逗b逗c，平面阿尔法类点m的坐标为X0，斗Y0，斗Z0，则对于平面阿尔法类任意点坐标为x斗y斗z的点p就有向量mp的坐标为，x减x0，抖y减y零，抖z减z0。
老师：由向量mp与法向量n的数量积等于0，我们就可以得到20，即a乘以括号x减X0，加上b乘以括号y减Y0，加上c乘以括号z减Z0，等于0。由此可见，平面阿尔法类任意点p的坐标x、斗y、斗z都满足方程二。反之，以满足方程2的x、y、z为坐标的任意点也都在平面阿尔法类，所以方程2叫做平面阿尔法的方程。我们来看到例题1。已知点a的坐标为0，逗一逗1点，b的坐标为一逗2逗1点seed坐标为all逗一
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