老师：各位同学大家好，我是来自于宜春市第九中学的周荣老师，很高兴今天能和大家一起来学习第三章的第二小节空间向量的运算。在前面的学习中，我们已经知道空间向量的定义与平面向量的定义类似，只不过一个是在平面内进行定义，一个是在空间内进行定义，所有的性质都是一致的。从本质上来说，平面向量是空间向量的特殊体现，而空间向量可以看作平面向量的延伸。我们要解决空间向量的相关问题，要将空间向量转化为平面向量，再用平面向量的运算法则进行解决。因此，在学习空间向量的运算之前，我们有必要对平面向量的定义和运算进行复习。
老师：首先我们来回顾平面向量与空间向量的定义平面内既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的长度或母。而空间向量的定义是将平面内三个字改为空间内，它们的技法也相同。接下来我们对比平面向量与空间向量的表示方法，我们发现两者的表示方法是一致的，都可用有向线段表示，如有象限的AB，有象限的OA，有象限的OB，有象限的OC或用小写字母表示。如ABC，我们会将小写字母加粗用于几线。向量与标量的区别由于向量是一个二维概念，而空间向量是一个三维概念。在表示方法上，唯一的区别在于，平面向量的坐标只有两个维度，x和y，而空间向量对比平面向量增加了一个维度，用x、y，z表示。平面向量与空间向量中的相关概念是一致的。在空间向量里，我们也把模为0的向量记作0向量，用粗体的数字0来表示0向量的方向也为任意方向。模为一的向量，我们也叫做单位向量。模方向都相同的两个向量也会记作向量a等于向量b，把它们称为相等向量。而模相同方向相反的两个向量记作向量a等于负的向量b，把它们称为相反向量。两者贡献向量的概念也相同，都是当两向量所在直线平行或重合时，称这两个向量为贡献向量或平行向量。同样地，也都有零向量和任意向量贡献。
老师：正如前面所言，由于向量只由大小和方向确定，它们是可以在空间内自由移动的。我们在研究空间向量的线性运算时，实际上是要将参与运算的空间向量通过平移使其落到同一个平面内，将其转化为平面向量，进而用平面向的线性运算法则进行运算。因此，空间向量的加法运算是将两个空间向量平移至首尾相连。使用三角形法则得到两向量的和。
老师：图中向量aC与向量CB是首尾相连的，它们的和为AB，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。三角形法则的要点是首尾相连，因此有向量aC加向量c、b等于向量a、b或者将两空间向量平移至共起点，使用平行四边形法则得到两向量的和。
老师：图中向量a、b与向量a、d是共起点的，它们的和是以AB、a、d为邻边所作的平行四边形中与它们共起点的对角线，即向量aC。平行四边形法则的要点是共起点，因此有向量a、b加向量a、d等于向量aC。空间向量的减法运算是将两个空间向量平移至共起点，使用三角形法则得到两向量的差。
老师：在图中，向量a、b与向量
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