老师：同学们大家好，我是鹰潭市渝江区第一中学的数学教师熊璐，很高兴今天和同学们一起来学习第二章第三节的内容。抛物线及其标准方程。在日常生活中，斜抛物体随处可见。斜抛物体在没有空气阻力的情况下，其运动轨迹是抛物线，例如铅球的运动轨迹。很多拱桥、雷达的天线也都是利用抛物线的原理制成的。那么具有怎样几何特征的曲线是抛物线？为了探究这一问题，决定做出抛物线，结合图像研究其性质。
老师：如图，首先，我们将一把直尺固定在画板上，再取一个直角三角板领齐的一条直角边，紧靠在直尺的边缘，记作直线l。然后取一个与直角三角板的另外一条直角边a、b等长的绳子，将绳子的一端固定在点a，另一端固定在点f处。接下来用铅笔尖扣紧绳子并靠住三角板，将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点p的轨迹。
老师：观察铅笔尖随着三角板的移动过程，可以发现点p到定点f的距离等于PB的长度，即说明点p到定点f的距离与到定值线l的距离是相等的。于是我们把具有这样特征的曲线做出如下定义，即得到抛物线的定义，平面内于定点f和一条定值。
老师：先ll不经过f的距离相等的点的集合或轨迹，我们把它称为抛物线，我们把这个定点f称为抛物线的交点，把这条定直线l称为抛物线的准线。接下来请同学们类比椭圆双曲线标准方程的建立过程，思考如何建立平面直角坐标系，可以使抛物线的标准方程简单。结合抛物线的几何特征，我们取经过焦点f，且垂直准线l的直线为x轴，x轴会与准线l交于点k，以线段kf的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。设其中间段KF的长度为p，则焦点f的坐标为二分之p0，准线l的方程为x，等于-2分之p。在这个我们刚刚建立的平面直角坐标系的基础上，让我们一起来推导抛物线的标准方程。
老师：我们在抛物线上任取一点m，设其坐标为xy，用小写字母d来表示点m到定直线l的距离。根据抛物线的几何特征，我们知道MF是会等于d等，因为点m的坐标为xy，点f的坐标为二分之P0。将其带入到两点的距离公式当中，从而得到MF会等于根号x减二分之p的平方加y的平方。利用点到直线的距离公式可以得到d会等于x加二分之p的绝对值。
老师：将m，f和d带入到上述的方程当中，从而得到方程根号x减二分之p的平方加y的平方等于x，加二分之p的绝对值，将该方程左右两边同时平方并化简，最终得到方程y的平方等于二PX，其中p大于0。这就说明抛物线上任意一点的坐标都会满足方程y的平方等于rpx，其中p大于0。反之，也可以证明得到以方程y的平方等于rpx的解为坐标的点都在抛物线上。于是我们把方程y的平方等于rpx叫做抛物线的标准方程。
老师：这条抛物线的交点位于x轴的正半轴上，其焦点坐标为二分之P0，它的准线方程为x，等于-2分之p，其中p为抛物线的交点到准线的距离。目前我们已经学习了抛物线的定义及其
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