老师：大家好，我是江西省鹰潭市第一中学的付继明老师。今天我们学习的内容是椭圆及其标准方程。第一课是同学们数学源于生活，而又运用于生活。细心观察，我们可以发现生活中到处都隐藏着椭圆这种非常优美的图形。例如，人类生存所在的银河系是一个椭圆形螺旋心系。宇宙中行星围绕恒星公转的轨迹是椭圆球。在一束不垂直于投影面的光源的照射下，它的影子是椭圆形。圆柱形。茶杯倾斜一定角度，茶水液面的形状也是椭圆，切火腿肠的截面形状也是椭圆。
老师：同学们，你们还能找出一些现实世界中椭圆的例子吗？早在公元前5世纪，古希腊数学家就通过平面结圆锥认识并研究了椭圆，并建立了非常完整的理论体系。17世纪，法国数学家笛卡尔创立了解析几何，使圆锥曲线的研究进入了一个新的时代，并延续资金。在人类认识椭圆的过程中，具有标志性意义的一件事是，19世纪，比利时数学家旦德林发现了双球模型。如图，双球都与圆锥侧面和截面椭圆相切。该图不仅体现了平面图形椭圆与空间几何体圆锥的图形关系，更能精确地体现椭圆上碘的平面几何特征，为我们在平面上定义椭圆奠定了基础。那双球模型是如何反映椭圆上点的几何特征？我们一起来看看。
老师：设双球与截面椭圆分别切于点F1、F2与圆锥的侧面切于圆涡一和圆涡2。过圆锥的顶点v做一条母线，分别切双球于圆O1和圆O2上的点PQ。教截面语点m，mpq3点贡献。我们可以看出MFE和MP是下方大球的两条切线，mf二和MQ是上方小球的两条切线。我们已经知道圆的切线长定点，也就是平面内圆外一点做圆的两条切线的长都相等。类比这个定理，我们可以得到，空间中求外一点做求的切线的长也都相等，从而MFE等于mp，mfr等于mq。
老师：又由mpq3点贡献可知，MP和MQ的长度之和，即线段PQ的长，而PQ它是以圆O1和圆O2为底面的圆台的母线长，而原台的母线长，它是一个常数，从而我们有mf一加mf2等于mp加mq等于PQ。
老师：PQ是常数。好，我们发现了非常重要的一个规律。什么规律？椭圆上的点到2000点的距离之和不变，反之，是否满足到两定点距离之和为常数的点的轨迹就是椭圆。我们可以动手画一画。我们取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在土板上的两点，F1，F2。我们套上鼻尖，拉紧绳子，移动鼻尖，看画出的轨迹是什么样的曲线。
老师：好，同学们，我们发现这样画出的是一个椭圆，那这能够说明什么呢？由于绳长是固定的，因此笔尖到F1、F2的距离之和为绳长，是常数，也就是说，满足到两定点距离之和为常数的点的轨迹就是椭圆。注意距离之和大于F1、F2。好，同学们，通过前面的氮德林双球，我们发现椭圆上的点具有倒量定点距离之和为常数的特征。另一方面，我们通过实践作图也发现到两定点距离之和为常数的点的轨迹就是一个椭圆。因此我们对椭圆归纳如下定义，平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数，常数
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