老师：同学们好，我是萍乡市湘东中学数学老师文明。今天我和大家一起研究平面直角坐标系中两点间的距离。距离的概念在日常生活中经常遇到，在初中我们也学过了数轴上的两点间的距离。让我们先回顾一下初中所学的数轴上的距离。数数上两点a、b的位置关系有哪几种？如图，它们可以是a在b的左边，也可以是a在b的右边，还可以是a、b重合。
老师：那么如何用数轴上的数来表示a、b两点间的距离？我们可以用数轴上a、b两点所对应的实数XAXB来表示它们之间的距离。当a在b的左边时，XB大于XA，所以AB等于XB减去XA。当AB重合时，XA等于XB，所以AB等于0。当a在b的右边时，XA大于XB，AB等于XA减去XB。所以数轴上a、b两点间的距离可以表示为AB等于XB减去XA的绝对值。
老师：此记数轴上a、b两点间的距离公式在解析几何中，对于坐标平面内任意两点a、b，通常用A、b的绝对值表示这两点间的距离。那么，对于平面直角坐标系中的任意两点，我们如何求它们之间的距离？让我们先从已知的两点出发，一起来探讨平面直角坐标系中两点间距离的求解过程。如图，已知在平面直角坐标系中两点a-3，负2b三、四，则点a、b间的距离如何求解？我们先做以下处理，过点a做x轴，y轴的垂线交x轴、y轴分别为A1，A2。过点b作x轴，y轴的垂线交x轴、y轴分别为B1，B2延长a二bb一交于点c，则seed坐标为3-2，且有aC垂直BC。又因为在矩形aCBEAE中，aC等于AEBE等于3减负3的绝对值等于6。在矩形BCARBR中，BC等于ARBR等于4减forr的绝对值等于6。
老师：在直角三角形aC、b中，由勾股定理可得AB等于根号aC平方加上BC平方等于根号6的平方，加6的平方等于6根号2。于是我们通过构造直角三角形aC、b求得了AB的距离。通过刚才的例题，我们可以将求解任意两点的距离方法归纳如下，在平面直角坐标系中，若两点a、X一y1，bX2，Y2。如图，可以将a、b转换为x轴和y轴方向上两段距离X2减X1的绝对值，Y2减Y1的绝对值来计算。由勾固定理可得a、b两点间的距离。
老师：公式，a、b等于根号下XR减。去X1的平方，加Y2减Y1的平方。公式，a、b等于根号下XR减去X1的平方，加Y2减Y1的平方中x、y与2点的先后顺序有关吗？因为XR减去X1的平方等于X1减去X2的平方，Y2减Y1的平方等于Y1减Y2的平方，所以公式中的x、y与两点的先后顺序无关。因此，距离公式也可以写成，a、b等于根号下X1减去x、r的平方，加Y1减Y2的平方。
老师：我们来看一下两种特殊情况，向量a、b与两坐标轴平行时，当向量a、b与x轴平行时，A、b等于X2减去X1的绝对值。当向量a、b与y轴平行时，a、b等于Y1减Y2的绝对值。所以当a、b与坐标轴平行时，这两点间的距离a、b就是坐标轴上的距离。此时公
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