老师：大家好，我是江西省南昌市第二十三中学的郭佩老师。这节课我们来学习利用函数性质判定方程解的存在性。先来看这样一个问题，求下列方程的根，第一小题是一元一次方程，e解得x等于1/2。第2小题是一元二次方程，利用求根公式不难算得x等于1/4，加减根号41。第3小题是一元五次方程，而第4小题是更为复杂的方程。这一类方程如何求解？方程及方程的解是数学史上永恒的话题。在人类用智慧架设的无数座从已知通向位置的桥梁中，方程的求解是最璀璨的一座。我们就循着古今中外数学家们的足迹，来了解一下方程求解的历程。公元50-100年编程的9张算术中已经有记载开方、开立方的方法。七世纪学堂数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法。11世纪北宋数学家贾现在皇帝九章算法系炒中提出以历程四所法来解三次或三次以上的告次方程。13世纪南宋数学家秦九勺在数九章中提供了一种用算、筹、步、列、减任意数字方程的有效算法词法，可以求出任一次代数方程的正根。国外数学家对方程的解也有诸多研究。9世纪阿拉伯数学家花拉茨米给出了一次方程和二次方程的一番解法。16世纪，意大利数学家卡丹和塔尔塔利亚给出了三次方程的求钢公式。接着不到两年的时间里，卡丹的学生费拉里就找到了四直方程的求跟公式。之后几百年，数学家们都努力想找到五次方程的求跟公式，都没有成功。直到19世纪，年仅19岁的挪威数学家阿贝尔从理论上证明了5次及以上的一般方程没有求跟公式。因此我们有必要从函数的角度来判定方程解的存在性。从我们熟悉的一元二次方程出发，判定该方程实数根的存在性。
老师：根据之前的学习经验，我们知道除了利用代数法计算得的，还可以用图像法从函数的角度分析画出对应函数的图像。在出峰时我们就知道令fx等于0，那么该方程的解即为函数图下与x轴交点的横坐标，我们给它一个名称叫做函数fx的零点，一般的使得FX0等于0的数x0称为方程FX等于0的解，也称为函数Fx的零点。
老师：由定义可知，函数fx零点等价于函数图像与x轴交点的横坐标，等价于方程fx等于0的实数解。例如，这个函数的零点不是-2豆零，三豆零，也不写成X1等于-2，X2等于3，而是-2和3。从特殊到一般，求这些方程的根，从函数角度分析及对应的函数是否有零点，有几个零点，顶点在哪里？这是本节课要解决的重点问题。
老师：如何判断函数是否存在零点？进入探究一的问题。一、小马过河下列两组画面观察小马的前后位置，哪一组小马一定过河，你看出来了吗？是的，第一组图的小马一定过河。如果将小河抽象为x轴，小马的前后位置抽象为PQ2点，你能画出小马可能的行走轨迹吗？第一种，当小马的位置分别在河两岸时，即PQ2点，在x轴两侧时，请屏幕前的你试着画一画，老师是这么画的，有同学是这样画的，还有这样画的，当小马的前后位置在小河统一侧时，即PQ在x轴的。
老师：同一测，我是这样画的，还可以这样
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