老师：同学们好，我是来自北京市石景山区实验中学分校的冯子阳老师。这节课我们接着来研究基本作图。在美丽的大千世界中，尺规还能帮我们画出什么呢？角的平分线能帮我们解决很多问题。这节课我们就先来探究如何做一个角的平分线。已知角AOB，求做射线OC使它平分角AOB。请大家思考该如何作图，并说你的依据。有的同学说，我一下子想不出来，但我可以根据上节课的知识做出它的等角，我做出角COA等于角AOB，这样OA就是角COB的平分线了。这位同学的思考非常有价值，我们顺着他的思路来继续探究。还有的同学想到了，既然是做任意一个角的平分线，那我们不妨设这个角就是角COB。如果我们能弄明白OA作为角COB的平分线是怎么构造出来的，那问题就解决了，同学们都非常善于思考，为你们的积极勇敢点赞。下面我们就一起来观察图形，看看OA可以怎么构造出来。
老师：如果我们连接CDED，就出现了两个三角形，由画法可以得到OC等于OE，Cd等于ed，公共编od等于od，根据边可得三角形COD全等于三角形EOD，所以角一等于角。2OA就是角COB的平分线了。所以要得到OA，我们需要在角COB的内部构造出一对三边对应相等的全等三角形。如何构造？我们从头来看构造第一对等边可以以o为圆心，任意长为半径画弧，分别与角的两边交于c、E2点，由此得到了OC等于o、e。那如何构造CD等于ED呢？相信同学们已经想到了，我们可以分别以c、e两点为圆心，以相等的长为半径画弧，两壶的焦点就是d点，那这个半径取多长才能保证两壶一定相交？说对了，这个长度只要大于1/2ce的长，两弧就会有焦点了。如果我们取的半径长小于1/2ce会怎么样？如图所示，那这两条湖就没有焦点。如果取得半径长等于1/2ce，两弧虽然也交于一点，但焦点的位置不好确定，所以我们分别以CE为圆心，以大于1/2CE的同样长为半径画弧，两弧的焦点就是d点。我们连接CD，ED就得到了第二对等边，CD等于ED连接欧弟，这对公共鞭也随之出来了。由此我们得到两个三角形全等，所以角一等于角2。我们延长OD做出射线OA就得到了o，a是角COB的平分线。通过研究相信大家都理解了，做一个角的平分线，就是在这个角的内部构造一对三边对应相等的全等三角形。因为这三对边中有一对公共边，所以我们构造两对等边就够了。
老师：明白了这个原理，相信你已经掌握了做角平分线的方法，下面请同学们动手实践一下，我们一起来做出角AOB的平分线OC。我们先以o点为圆心，任意长为半径作弧交o，a于d，交o，b于e，再分别以d、e为圆心，以大于1/2de的同样长为半径作弧，两弧交于点c。做射线OC，则射线OC就是所求做的射线。绘画角评分线了。下面我们还要对它进行深入的研究，看看角评分线上的点有什么特点。如图所示，如果OC是角AOB的平分线，p是OC上任意一点PM垂直OA与m，PN垂直OB于NPM与PN
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