老师：同学们好，我是顺义区第十二中学的刘海英老师。前面我们学习了实数和二次根式的概念性质与运算。为了对本章知识有一个全面而整体的认识，这节课我们一起来梳理一下本章的内容。这是本章的知识结构框图。在这章中，我们从数的乘方、运算以及实际问题的需求而引出了开方运算，进而引入了平方根、算数平方根和立方根的概念，从而使数与式的领域得到了扩充，产生了五里数、实数和二次根式。那么这一章我们重点学习了实数和二次根式的概念性质与运算。为了应用本章知识解决问题，接下来我们一起来回顾一下本章的具体内容。
老师：先回顾平方根、算数平方根和立方根，我们将这三者对比来看，先看它们的概念，平方根的概念，如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。算数平方根的概念，正数a的正的平方根叫做a的算数平方根。类比平方根的定义，我们得出了立方根的定义，如果x的立方等于a，那么x叫做a的立方根。
老师：再看他们的表示方法，a的平方根表示为正负根号a，a的取值范围是a大于等于0，a的算数平方根表示为根号a，a的取值范围是a大于等于0。a的立方根表示为3次根号a。注意，这里的a为任意实数。由概念我们很容易得出他们的性质，平方根的性质。正数的平方根有两个，并且它们互为相反。数，0的平方根是0，负数没有平方根。算数平方根的性质，正数的算数平方根有一个是正数，0的算数平方根是0，负数没有算数平方根。我们再看立方根的性质，正数的立方根有一个是正数，0的立方根是0，负数有一个负的立方根。通过求数的平方根和立方根，我们认识了一类新的数，无理数。
老师：什么叫无理数？无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。学习了实数之后，我们对数轴的认识更加全面了，数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数。实数和数值上的点是一一对应的，那么实数又该如何分类呢？我们可以按照不同的标准将实数进行分类。
老师：如果我们按照实数的定义来分，那么实数分为有理数和无理数，有理数分为正有理数0和负有理数，无理数分为正无理数、负无理数。其中有理数我们还可以分为整数和分数。那么实数还可以怎么进行分类呢？我们还可以按照正负来分类，那么实数又可以分为正实数0和负实数。正实数分为正有理数、正无理数，负实数分为负有理数、负无理数。实数的运算我们可以类比游历数的运算。那么学习了平方根和算数平方根之后，我们又学习了二次根式，在二次根式的学习中，二次根式的概念是核心，下面我们复习一下二次根式的概念式子，根号a大于等于0，叫做二次根式。
老师：那么在这个定义中，我们注意到根号a要含有二次根号，并且被开方数a一定是非负数。那么我们在判断一个式子是否是二次根式时，要注意两点，一、看它有没有二次根号，二、看被开方数是否是非负数。那么知道了二次根式的概念以后，我们又学习了最简二次根式。
老师：什么叫最简二次根式呢？如果一个二次根式
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