老师：同学们大家好，今天我们一起来学习平行线的性质。我们先来回忆一下上节课所学的内容。在上节课中，我们学习了平行线的三个判定方法，同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。这三个判定方法都是以角的数量关系作为提设，以两直线平行作为结论的命题。如果我们将提社与结论互换，就会得到这三个命题对应的逆命题。这些命题的题射是两直线平行，而结论是角的数量关系。既然我们已经知道了平行线的三个判定方法是成立的，那是不是就可以说这3个逆命题也成立？事实上，如果原命题成立，它的逆命题并不一定成立。要想说明这三个命题成立，我们必须要进行证明。
老师：下面我们首先对逆令题一两直线平行同位角相等进行探究。我们可以将命题改写成已知求证的形式。已知如图，直线ABCD被直线EF所截，AB平行于CD，求证角一等于角二。已知中给出的条件是ab平行于cd，而我们要证明的结论是角一等于角2。在这里我们使用一种特殊的方法对这一命题进行证明。我们可以先假定结论不成立，角一等于角2不成立，也就是假设角1不等于角2。既然角一不等于角2，我们就可以过点g做一条新的直线a撇b撇，使得这条直线与直线EF的夹角EGB撇儿等于角1。
老师：我们注意到角EGB撇于角一是直线a撇、b撇CD被直线EF所截得到的同位角。根据同位角相等，两直线平行可以得到a撇、b撇平行于CD。这时我们发现a、b、a撇、b撇这两条直线都经过点g，并且都与直线CD平行，这显然与基本事实过直线外溢点，有且只有一条直线与这条直线平行相矛盾。
老师：a撇儿b撇儿平行于CD这一结论是由角一不等于角2这一假设得到的。因此，假设角一不等于角2是不对的。既然假设不对，这也就意味着角一等于角2这一结论是成立的。我们称这种证明方法为反证法。利用反证法，我们证明了逆命题一定是正确的。于是我们得到了平行线的第一个性质，两条平行线被第三条直线所截得到的同位角相等简记为两直线平行。同位角相等用符号语言表示为，因为a、b平行于c、d，所以角一等于角。下面我们对逆命题2两直线平行内错角相等进行探究。
老师：我们还是先将命题改写成已知求证的形式。那该如何完成证明？我们可以先从已知中给出的条件入手进行分析。已知中给出了a、b平行于C、d。根据刚刚我们得到的平行线的性质，我们知道平行线ABCD倍直线EF所截得到的同位角相等，那同学们能不能在图中找到角一的同位角？相信大家一定已经找到了角2与角一就是一组同位角，这样利用两直线平行同位角相等，就可以由AB平行于CD得到角一等于角二了。
老师：那大家再来看一看图中的角2与角3又有什么样的关系？可以看到角2与角3是直线a、b、e、f相交得到的对顶角，根据对顶角相等，我们又得到了角2等于角3。此时我们既知道了角一等于角2，又知道了角2等于角3，那么根据等量代换就可以得出角一等于角3了
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