老师：大家好，今天我们一起来学习技术方法的综合应用技术方法习题课。首先请大家回顾一下前面学习了哪些技术的方法，有枚举法、加法原理、乘法原理，还有排列数四种计数方法。这四种方法其实是从不同的角度去完成技术，他们之间有比较深刻的内在的联系。先看例一，第一有4问，先看第一问，5个同学排成一列，问有多少种排法，我们来简单的分析一下，用5个方框代表5个同学所在的位置，这5个同学可以互相交换排序，所以排法数是A55等于120种。那么第一问还有其他的思路吗？大家可以思考一下，其实通过图形我们发现对这5个同学进行排序可以分成五步，第一步，确定第一个位置，假设最左边这个方框是第一个位置，可以从5名同学任选一名，放在这个方框中有5种选择。第二步，从剩下的4名同学中任选一名，放在第二个方块中，以此类推，是321。那么根据乘法原理，这个方法数应该是5乘以4乘以3乘以2乘一，总共是120种排法。在第一问中，这两种方法其实是从不同的角度去完成排序的。
老师：第二文，甲必须排在正中间，问有多少种排法？我们简单的分析一下，甲必须排在正中间，说明甲已经确定好了，我们只要把剩下的4人在其他4个位置任意排列即可，所以结果是A44。二、四种排法。第三问，甲乙必须排在两桩，问有多少种排法，大家先分析一下，甲乙排在两端，那剩下的三人应该排在中间三个位置，所以从整体上我们可以分两步去完成这件事情。第一步，先排假影，有AR种排法。第二步，排其他三人在中间三个位置，排法数是A33，经过这两步以后就完成了整个排法，所以结果是A22乘以A332种排法。第四问，甲不能排在最右端，问有多少种排法？大家先分析一下，甲不能排在最右端，那他一定在其他四个位置之一，所以先排假，从其他四个位置任选一个位置给甲。A41，剩下的4人，在剩下的4个位置任意排列即可。所以根据乘法原理，A41乘以A44等于96种。那么第4问还有其他的思路吗？待暂停播放，思考一下。
老师：另外一种想法，我们不妨从反面考虑。题目要求甲不能排在最右端，那它的反面就是甲排在最右端，甲排在最右端的时候，其他的4人在4个位置任意排列即可。所以结果是A4四种排法，但是这是不符合题目意识的，所以应该从整个排法中，A55减去甲排在最右端的排法，减A44，结果等于96种。那么在利益的整个4文中，但也能体会到解决问题的关键在哪吗？
老师：关键点是分析如何完成一件事情，也就是说你是怎么去完成这件事的，比如先做什么，再做什么？好，请大家继续看。例2，平面上有四个不同的点，a、b、c、d，任取两点构造向量。问，能确定几个非0向量？要求用3种不同的方法解答。大家暂停播放思考一下。
老师：通过思考我们可以发现这个向量的个数怎么去确定。第一种最简单的方法就是一枚举向量a、b，向量b、a等应该共有12个，那么除了枚举阀之外，还有其他的思路吗？大家可以先思考一下。在
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