老师：同学们好，我是北京市第二中学数学教师范方冰。这一节课我们学习函数的极值与最大最小值1。在之前的学习中，我们学习了利用导数来判断函数的单调性。一般的函数fx的单调性与导函数它的正负性之间具有如下的关系，在某个区间a到b上，如果函数的导数大于0，那么函数y点fx在区间a到b上单调递增。在某个区间a到b上，如果它的导数小于0，那么函数y等于fx在区间a到b上，bundle递减。
老师：我们自然要问，如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处，函数有什么性质？我们利用之前研究高台跳水问题的时候所用的一幅图来继续研究观察图形。我们发现当t等于a时，高台跳水运动员距水面的高度最大。我们放大t等于a附近，函数HT，它的图像可以看出，当t等于a时，函数HT的导数它等于0。在t等于a附近，当t小于a时，它的导数大于0，函数h，t单调递增。当t大于a的时候，它的导数小于0，函数单调递减。这就是说，在t等于a附近，函数值先增后减。这样，当t在a的附近，从小到大经过a时，它的导函数先正后负，而且我们注意到它的导函数是连续的变化，因此就有函数在t等于a处的导数等于0。
老师：对于这个具体的函数，我们刚才分析了它具有这样的性质，那么对于一般的函数y等于FX，它是否也有同样的性质？研究函数，我们可以从函数图像入手来研究函数的性质，并且我们要善于从自变量以函数值的角度去切入，也要善于利用导数为工具去进行研究。比如，我们可以利用这幅图考虑这些问题，函数y等于f，x在x等于a、b、c、d、e等。
老师：点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y等于f，x在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y等于f，x的导数，它的正负性有什么规律？我们以x等于ab2点为例，可以发现函数y等于f，x在点x等于a处的函数值fab，x等于a附近，其他点的函数值都小。因此，当x等于a，它的导数值等于0，而且再点XA附近的左侧，导数值小于0，在x等于a的右侧，它的导数值大于0。这里同学们要体会在x等于a附近它的含义。
老师：实际上，在x等于a附近是指的一个非常小的区间，这个区间的端点一个比a小，一个比a大，这个区间要多小有多小。那么这里我们是用自然语言来进行来表述。在x等于a附近，在高等数学里，我们还会用符号语言来精确刻画。在x等于a附近，它的含义。
老师：类似的函数y等于FX，再点x等于b的函数值FB比它在点x等于b附近，其他的函数值都大。因此当x等于b时，它的导数值等于0，而且在点x等于b附近的左侧，它的导数值大于0。再点x等于b附近的右侧，它的导数值小于0。
老师：我们把a就叫做函数y等于f，x的极小值，点FA叫做函数y的FX来极小值，我们把b叫做函数y等于FX的极大值点，相应的FB叫做函数y点。FX的极大值、极小值点和极大值点我们统称为极值点，极小值和极大值我们统称为极值。
查看隐藏内容
