老师：同学们大家好，我是来自北京市第二中学的数学教师付静。在之前的学习中，我们知道函数是描述变化规律的数学模型，单调性是函数的重要性质，而导数能够定量的刻画函数的局部变化。那么这两者之间是否有联系？有什么联系？今天我们来探究这个问题。首先请大家思考这样一个问题。图一是跳水运动员的重心相对于水面高度h，随时间t变化的函数HT等于负4.9T，方加4.8T加11的图像。图2是跳水运动员的速度v，随时间t变化的函数vt也就是ht的导函数等于负9.8T加4.8的图像，其中a等于24/49，b是函数HT的零点。
老师：其实通过运算我们知道x等于a应当是函数ht图像的对称轴，此时t取所有实数，当然也可以看出a也是函数VT的零点。那么请同学们想一想，运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学角度刻画这种区别？其实通过观察图像我们可以知道，从起跳到最高点，运动员处于上升阶段，因此它的重心离水面高度h随时间t增加而增加，所以在这一阶段HT单调递增，即t属于开区间0到a时，HT单调递增。
老师：相应的，由于a是函数VT的零点，所以在这一阶段，VT也就是HT的导数大于0。同理，从最高点到入水运动员处于下降状态，因此它的重心离水面高度h随时间t的增加而减小。所以在这一阶段，HT单调递减，即t属于开区间a到b时，ht单调递减。相应的，在这一阶段，VT，也就是HT的导数小于0，也就是与上升阶段的速度相反。所以从本题中我们不难发现，函数的单调性与其导出的正负之间似乎存在着某种联系。
老师：那么请大家想一想，我们能否用导数的正负来判断函数的单调性？通过刚才的问题，我们不妨大胆的做这样的猜想，在某个开区间a到b上，如果导数大于0，那么在该区间上函数单调递增。在某个开区间a到b上，如果导数小于0，那么在该区间上函数单调递减。那在我们验证这个猜想之前，我们不妨先用一些熟悉的函数来检验一下。请同学们观察下面一些函数的图像，你能说明导数的正负与函数的单调性之间的关系吗？我们逐一来看。首先，对于正比例函数fx等于x，通过求导我们可以得其导函数为1，并且发现在开区间负无穷到正无穷上导数恒大于0。同时观察原函数的图像，可知在该区间上函数单调递增，所以可见正比例函数fx等于x满足我们的猜想。接着我们来看二次函数fx等于x的平方，通过求导可得其导函数为2X，并且发现在开区间付无穷到0上导数小于0，而在该区间上原函数单调递减，同时在开区间0到正无穷上导数大于0，而在该区间上原函数单调递增，所以二次函数fx等于x的平方也满足我们的猜想。
老师：接着我们来看3次函数fx等于x的3次方，通过求导可得其导函数为3X方，并且可知在开区间附无穷到0上导函数大于0，而在该区间上原函数单调递增，同时在开区间0到正无穷上导函数也大于0，而在该区间上原函数也是单调递增的，所
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