老师：同学们好，我是北京市第五中学的数学教师李柱。上节课，我们研究了高台跳水运动员的运动状态问题。我们先研究了运动员起跳后某一时间段的平均速度，在不断地将时间间隔缩小。随着时间间隔不断趋近于零，我们分别用计算和极限的方法求得了瞬时速度，并由此得到了任意时刻T0瞬时速度的表达式。通过这个过程，我们认识到瞬时速度是平均速度当时间间隔趋近于0时候的极限。从函数的角度看，运动员在某一时间段的平均速度就是这个函数在这个时间段的平均变化率。而运动员在某一时刻的瞬时速度就是这个函数在这一时刻的瞬时变化率。
老师：我们知道函数还可以用图像来表示，树和形的结合也是我们研究函数问题的常用方式。那么从函数图像上看，平均变化率和瞬时变化率有什么几何意义？我们这节课就从形的角度继续研究函数的变化率问题。我们以二次函数抛物线fx等于x方，再点P011处的切线的斜率为例来研究。说到切线我们比较熟悉，我们知道如果一条直线和一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆就相切。那么对于其他的曲线，例如抛物线fx等于x方，如何定义它在某一点？例如P01一处的切线。我们先回答这样的一个问题，如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线就一定相切吗？答案应该是不一定。
老师：就拿今天我们要研究的二次函数fx等于x方的图像来研究，它和直线x等于一就只有一个交点EE，但它们显然并不相切。那么反过来，如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案也是不一定。例如，正弦函数fx等于sinx，图像，和直线y等于一是相切的，但它们显然有不止一个焦点。看来我们不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过焦点的个数来定义相切了。
老师：那么对于抛物线FX等于x方，我们应该如何定义它在点EE处的切线？我们可以类比上节课的研究思路，上节课我们为了一位研究运动员在某一时刻，例如t等于1秒时的瞬时速度，先研究了运动员在t等于1秒后或前的某一时段，如1秒到T1秒的平均速度，再将时间间隔不断缩小。当Deltat无限趋近于0，也就是让T1无限趋近于一时，平均速度会无限趋近于一个常数，这个常数就是运动员在t等于1秒时的瞬时速度。
老师：从几何意义上看，平均速度的表达式是什么意思？它是函数图像上过点1H1和T1H，T1的直线的斜率，这条直线我们称之为抛物线的一条割线。类似的，我们再让T1无限趋近于一，考察这个过程中歌先位置的变化，看看是不是也越来越趋近于一个确定的位置，这也是我们上节课学到的无限逼近的极限思想。所以类似的，为了研究抛物线FX等于x方，再点一一处的切线，我们再点一一的附近取一个点pXX方，得到割线P0P，我们再把p逐渐的向P0靠近。
老师：考察割线p零p位置的变化情况，我们可以借助几何画板工具来观察，我们在几何画板中作出函数fx等于x方的图像。取定点P01，并在抛
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