老师：同学们好，我是北京市第五中学的数学教师王琦。上节课，我们从两类变化率问题出发，由他们的共性抽象概括出了导数的概念。你能写出函数y等于FX在x等于x0处的导数计算公式，并说出导数的意义吗？函数y等于FX在x等于x0处的导数就等于。当dirtx无限趋近于0时，平均变化率Deltay比Deltax的极限。计算时，我们可以先求出平均变化率Deltay比Deltax的表达式，再对齐取极限。导数是瞬时变化率的数学表达。他表示函数y等于FX，在x等于x0处的瞬时变化率，反映了函数y等于FX，在x等于X0附近的变化情况，同学们都知道数与行是数学研究中相辅相成的两个对象，那么导数是否有其几何意义？我们知道导数是平均变化率的极限，同学们可以先思考一下平均变化率的几何意义是什么呢？平均变化率Deltay比上Deltax就等于函数值的变化量，比上自变量的变化量。我们也可以将分母写成两个自变量的差的形式。
老师：从柿子的结构你能联想到什么呢？同学们是否联想到了直线的斜率？这个式子表示过点P0和点p的直线的斜率，其中点P0的坐标为X0fX0，点p的坐标为X0加dirtx，fX0加dirtx这两个点显然都在函数y等于fx的图像上。我们做出示意图，点P0横坐标为X0，纵坐标为fx0点p横坐标为X0加Deltax，纵坐标为fx0加dirtx。由于Deltax可正可负，但不为0，所以点p可能在点P0的右侧或左侧。我们先画出点p在点P0右侧的情况。我们从图中可以看出，经过点P0和点p的直线是函数y等于fx图像的一条割线，因此平均变化率的几何意义就是割线P0p的斜率。导数是平均变化率的极限。平均变化率的几何意义我们已经知道了，那么导数的几何意义要如何理解呢？当Deltax变化时，点p它的位置也随之变化，从而割线P0P的位置和斜率也随之变化。当Deltax无限趋近于0时，点p沿着曲线y等于FX无限趋近于点P0。接下来我们通过信息技术来观察一下，在这个运动变化的过程中，割线P0P及其斜率是如何变化的。
老师：由于Deltax可正可负，我们分别进行探究。我们先来看Deltax大于0的情况，此时点p在点P0的右侧，随着Deltax不断趋近于0点p沿着曲线y等于fx不断趋近于点P0。当dirtyx无限趋近于零时，点p就无限趋近于点p。零，割线P0P就无限趋近于一个确定的位置，而割线的斜率就无限趋近于这个确定位置直线的斜率。当dirtx小于0时，点p，再点P0的左侧。当Deltax无限趋近于0时，点p沿着曲线无限趋近于点P0，割线P0P就无限趋近于与刚才同一个确定的位置。割线P0P的斜率也同样无限趋近于这个确定位置直线的斜率。那么这个确定位置的直线是什么线？它就是曲线y等于fx，再点P0处的切线。好，同学们能不能根据刚才的过程给切线下个定义？我们可以这样定义，在曲线y等于fx上，任取一点p
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