老师：同学们好，我是北京市第五中学的数学教师李柱。为了描述现实世界中运动变化的现象，数学中引入了函数。函数是数学中重要的概念。随着对函数的深入研究，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。微积分的创立与处理四类问题直接相关，一是物体运动的问题。已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度。反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。二是求曲线的切线。三是求函数的最大值和最小值。四是求长度、面积、体积、重心等问题。
老师：历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，两个伟大的数学家牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分。我们今天要学习的导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想。导数定量的刻画了函数的局部变化，是研究函数增减快慢、最大值、最小值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等等实际问题的基本工具。今天我们就来研究一类与导数的产生息息相关的变化率问题。我们之前学习过函数的单调性，知道不同类型函数的增或减的快慢也不同，能否精确定量的刻画变化速度的快慢？今天我们以高台跳水运动员的速度为例来研究。在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h单位是米，与起跳后的时间t单位为秒，存在函数关系ht等于负四点儿9倍的t方，加上四点儿8倍的t，再加11。那么我们应该如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度？我们知道，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段会运动的越来越慢，在下降阶段会运动的越来越快。运动员的速度每时每刻都发生着变化。为了研究运动员速度的变化情况，我们可以把整个运动时间段分为许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似的去描述它的运动状态。那么我们应该如何求运动员从起跳到0.5秒，以及起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？我们需要分别计算出两段时间的终止时刻，也就是0.5秒和2秒，以及初始时刻，也就是0秒和1秒分别所对应的函数值，然后对它们分别做差，求得运动员在两段时间距离水面高度的变化量，再分别除以两段时间的变化量，也就是终止时刻减去初始时刻的值。
老师：这样就可以得到这两段时间运动员的平均速度。用符号语言表示就是第一段时间的平均速度等于h0.5减去H0，比上0.5减0。第二段时间的平均速度等于H2减去H1，比上二减一。
老师：在研究清楚了平均速度的计算方式以后，我们可以把具体的计算工作交给信息技术工具，同学们可以拿出手边的计算器或者计算机计算一下刚才两个式子的值。老师利用电脑的Excel制作了这样的一个小工具。我已经事先将函数的解析式和平均速度的计算设置在表格中。我们只需要在输入某一时间段初始时刻T1和终止时刻T2的值，
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