老师：同学们好，我是北京市第二十五中学的数学教师苏萌萌，很高兴与大家一起学习。前面我们学习了等比数列，同学们先来思考一个问题，什么是等比数列呢？等比数列的通项公式又是什么呢？没错，一般的如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，我们就称这样的数列为等比数列可以表示为an比上an减1等于公比q，其中公比为0。那么等比数列的通项公式可以表示为an等于A1，乘上q的n减一次方，其中首项A1和公比q均不为0。
老师：我们再来看问题二，同学们都听说过国际象棋，大家有见过国际象棋的棋盘吗？国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么？发明者说，请在棋盘的第一个格子上放一颗麦粒，第二个格子上放两颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒。依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的两倍，直到第64个格子。请给我足够多的卖力，以实现上述的要求。国王觉得他这个要求并不高，就欣然同意了。请同学们帮助国王计算一下他一共应该给发明者多少颗麦粒。没错，他应该给他1+2，加上2的平方，加上2的3次方，一直加到2的63次方。那么我们该如何来计算这个式子？我们先来一起分析一下。
老师：如果把各格所方的卖力数看成一个数列，我们就可以得到一个等比数列，它一共有64项，其中首项为一，公比为2，那么我们要求第一个格子到第64个格子所放的麦粒数的总和，就是求这个等比数列的前64项和。我们要计算这个式子不借助计算器，需要花费大量的时间，于是我们自然而然的想到能不能得到等比数列的求和公式，用这个公式帮助我们进行求解。我们又该如何求一个等比数列的前n项和。在前面的学习中，我们知道等差数列是有求和公式的，那么同学们能否类比等差数列前n项和公式的求法，推导出等比数列的前n项和。我们先来一起回顾一下等差数列前n项和公式的推导过程。
老师：等差数列A1A2A31。知道an的前n项和是SN，我们根据等差数列的定义，dn加一项，减去d，n项等于公差d。我们用倒叙相加的方法推导出了等差数列的前n项和公式。先将各式作和，在倒序列式得到一式和二式，将两式相加得到2倍的Sn等于n，乘上A1加an，所以SN就等于二分之n倍的A1加In。于是我们就可以利用等差数列的第n项AN和首项AE来表示前n项的和。
老师：本质上，我们是根据等差数列的定义，an加一减an等于d，抓住倒序后两式中上下对应的和，均为A1加an这一性质构造相同的像，消除了像与像之间的差异，进而化繁为简，推出了公式。那么，对于等比数列，我们是否也能用倒序相加的方法进行求和？可否用等比数列的首项和第n项表示等比数列的前n项和，我们来尝试一下。首先将各式相加在倒叙列式，但因为在等比数列中，A1加上an不等于A2加上an减一，因此我们就无法得到2倍的SN等于n乘上A1加an，尝试过后发现行不通，因此我们知道等比数
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