老师：同学们好，我是北京市广泉门中学数学教师杨若晨。上节课我们学习了数列的概念、通项公式及其简单应用。已知一个数列的通项公式，我们就可以写出这个数列的每一项了。我们来看下面这个问题。如果一个数列的通项公式为a，n等于n的平方加2N，那么120是不是这个数列的项？如果是第几项，要判断120是不是这个数列的项，就是要判断是否存在正整数n，使得n的平方加2N等于120，那我们令n的平方加2N等于120。接下来的任务就是要看这个关于n的方程是否有正整数解。那我们解这个关于n的方程，得n等于-12或n等于10，因为n是正整数，所以-12要舍掉。因此120是这个数列的项，并且是第十项。
老师：通项公式反映了一个数列项与序号之间的关系。我们不仅要会通过序号来求项，比方说让你求一个数列的第一项、第二项、第三项等等，我们还要会像这道题目一样，通过向反过来求序号。当然，这都是在已知通向公式的前提下，那要求再高一点，我们还要会根据一个数列的前几项写出这个数列的通项公式。比方说，我们来看下面这个问题。
老师：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中，四个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前四项。请你写出这个数列的一个通项公式。我们先来看第一个图，着色的三角形的个数自然就是一个，那第二个图有1233个着色的三角形，第三个图有一二三四五六七八九个着色的小三角形。那第4个图好，给你点儿时间数一数，看看它有多少个着色的小三角形。
老师：好，是不是一共有27个着色的三角形。那这样我们就写出了这个数列的前四项。这个题目是让我们写出这个数列的一个通向公式，那就是要寻找项与序号之间的关系。13927，诶，有没有发现它们都是3的指数密？第一项就是3的0次幂，第二项是3的依次幂，第三项是3的二次幂，第四项是3的三次幂，都是3的指数幂，并且指数等于序号减1，所以这个数列的一个通项公式就是an等于3的n减一次幂。当然，有同学可能就会觉得刚才这个规律好像并不是很容易被发现，那该怎么办？提示大家一下，当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律。比方说，依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用。那我们不禁要问，对于这个数列，你能不能发现后一项与前一项的关系，并用数学语言归纳出来？
老师：不难发现，后一项就等于前一项乘3。我们也可以通过图形来解释这一问题，每个图形中的着色三角形都会在下一个图形中分列为三个着色的小三角形和一个无色的小三角形。所以从第二个图形起，每个图形中着色三角形的个数就等于上一个图形中着色三角形个数的3倍。这样我们就发现了后一项与前一项之间的关系。
老师：那你能把这种关系用数学语言归纳出来吗？通过我们刚才的分析，首相就等于一，第二项A2就等于3倍的
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