老师：大家好，我是北京市第171中学的数学老师陈凤飞。今天我们学习的内容是双曲线的简单几何性质。首先我们来复习一下上一节课学习的内容，双曲线的定义是什么？双曲线的标准方程又是什么呢？双曲线的定义，一般的我们把平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数，这个常数要小于F1、F2，这样的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
老师：我们还学习了双曲线的两类标准方程，焦点在x轴上的双曲线标准方程为a方分之x方，减b方分之y方等于一，它的图像如下，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为，a方分之y方减b方分之x方等于一。那么双曲线有哪些几何性质？我们回忆一下当时我们学习椭圆的几何性质时，是怎么学习的好，还记得吗？是从行的角度和树的角度分别研究了椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个简单几何性质。所以我们来研究双曲线的几何性质的时候，也要从行的角度和树的角度来研究。
老师：那么问一下，双曲线和椭圆毕竟是两类图形，有没有双曲线所特有的几何性质？带着这个问题，我们首先来研究一下双曲线的范围。从形的角度看，我们观察一下双曲线的图像，双曲线上任意点的横坐标x是大于等于a或小于等于负a的，纵坐标y属于r。接下来我们要从数的角度来验证它。因为要求双曲线上一个点横坐标的取值范围，所以我们要把标准方程里头b方分之y方移到等号的右边。因为b方分之y方是大于等于0的，所以a方分之x方就大于等于一，也就是x方大于等于a方。x大于等于a或x小于等于负a，而y是一切实数，说明我们从行的角度和数的角度都研究出了它的范围，就是横坐标x大于等于a或小于等于负a，y属于r。
老师：接下来我们研究双曲线的第二个几何性质就是对称性。同样的，从行的角度看，双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，所以它也关于坐标。原点对称，中心零零，我们称之为双曲线的中心。接着我们还是要从数的角度来加以验证。设双曲线上任意点xy，它关于x轴对称的点是x负y，把x负y这个点带到双曲线的标准方程里头依然满足。当然，xy这个点关于y轴对称的点是负x，y带到双曲线的标准方程里头也依然满足。第三步，把xy关于原点对称的点负x负y带到双曲线的标准方程里头也满足。这说明什么呢？这说明双曲线既关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称，我们称这个坐标原点为双曲线的中心。好，接下来我们研究双曲线的第三个性质，顶点。从形的角度看，双曲线与x轴有两个交点，A1和A2，我们称之为双曲线的顶点。而双曲线与y轴是没有交点的，这个是跟椭圆显著不同的。我们接下来从树的角度来研究一下顶点的坐标，要求A1、A2两点的坐标要使得双曲线标准方程里，另y等于0，得到x等于a，或者x等于负a，所以a一点的坐标就是负A0，A2点的坐标就是A0。同样令x等于0，我得到了y方等于负b方，这个式子是没有实数解的，这就是刚才
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