老师：大家好，我是北京市第171中学的数学老师陈凤飞。今天我们学习的内容是双曲线及其标准方程。我们知道椭圆和双曲线都是平面截圆锥所得，根据截面与圆锥对称轴所成的角度不同，两者的形状存在差异。我们想这两类图形应该存在某种联系，所以我们学习双曲线就从复习椭圆开始。
老师：那么椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程又是什么呢？平面内与两个定点F1，F2距离之和为常数，这个常数要大于F1，F2这样的点的轨迹就是椭圆，它的标准方程就是a方分之x方加b方分之y方等于1。下面我们通过动画演示来演示椭圆的形成过程，好动点m到两个定点F，f撇的距离之和是个常数，那么这个常数要大于F1F撇儿。这个时候m点的轨迹就是椭圆，那么放到三角形MFF撇中看，就是两边之和要大于第三边。现在陈老师改变一下AB的长，观察一下图像发生了哪些变化。我们发现椭圆已经消失了，现在的轨迹就是双曲线。那么在第一象限内的参数看一下，FM加FM撇，也就是动点到两个定点的距离之和已经不断的发生变化，而距离之差是一个正的常数或者负的常数，我们不妨认为距离之差是绝对值，是个常数。放到三角形MFF撇中看，就是FMF减去MF撇，它们差的绝对值要小于第三边FF撇儿。
老师：好，我们再看一下这个图像，什么时候FM减去MF，撇是正的常数，什么时候是负的常数？仔细观察，m点在双曲线的左边这一支，这个时候它是负的常数，而在双曲线右边这一支的时候，它是正的常数。所以我们可以知道这个差的正负它往往对应着双曲线的两支，可见双曲线要比椭圆复杂得多，我们不要着急。
老师：首先我们来整理一下双曲线的定义问题一，双曲线的定义是什么呢？根据图像类比椭圆，请大家回忆刚才的动画演示过程，我们给双曲线下这样的定义。一般的我们把平面内与两定点F1F2的距离的差的绝对值等于非零常数，这个常数要小于F1、F2，这样的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
老师：接下来我们要对双曲线的定义进行辨析，好类比椭圆双曲线的定义中有哪些关键词，如果分别去掉或改变这几个关键词，曲线会发生怎样的变化？我们来看一下。定义中绝对值显然是一个关键词，非0也是关键词，这儿的小雨也是关键词，所以我们看一下第一种情况，如果把定义中的绝对值去掉，题目变成平面内到两个定点，F1、F2的距离之差等于非零常数，这个常数要小于F1、F2这样的点的轨迹是什么呢？根据刚才的动画演示，我们知道这样的点的轨迹应该是双曲线的一支，那到底是哪一支？看一下第一张图，如果mf1减去mf2是个正的常数，那么m点的轨迹应该是双曲线的右支。反过来，如果mf1减去mf2是个负的常数，那么m点的轨迹是双曲线的佐支。所以如果把关键词去掉，点的轨迹就变成了双曲线的一支。这个由我们刚才的动画演示已经论证过了。
老师：接下来我们看第二种情况，如果把定义中的关键词小于
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