老师：各位同学大家好，我是北京惠文中学数学教师佘妍。今天我们一起来学习点到直线的距离公式。我们上节课用定量的方法研究了两点间的距离，得到了两点间的距离公式。今天我们一起来研究点到直线的距离。我们一起来看这个问题。如图，已知点p的坐标X0Y0和直线l的方程ax加b，y加c等于0，其中a、b均不为0。那么我们如何求点p到直线l的距离？要想回答这个问题，我们首先要明确点到直线的距离的定义是什么。实际上点到直线的距离就是点到直线垂线段的长度，那我们不妨过p点作PQ，垂直于直线l，交直线l于q，那么线段PQ的长度就是点p到直线l的距离了，那我们如何求PQ线段的长度？上节课的知识我们知道我们只需要知道pq二点的坐标，利用两点间距离公式就可以了，那显然p点的坐标是已知的，那q点的坐标如何求？观察q点的位置，我们知道q是直线l与直线PQ的交点，所以我们可以通过连立两条直线的方程，进而求出q点的坐标。
老师：那现在问题又来了，我们这个直线PQ的方程又如何表示呢？我们知道一条直线方程需要已知直线上的一点，再加上斜率，那现在显然点我们是有的，点p的坐标，那斜率我们又等于什么呢？我们再来看，因为直线l与直线PQ是垂直的，所以我们可以利用两条直线垂直斜率间的关系，进而得到PQ直线的斜率。
老师：通过上述分析，我们就可以一步一步的最终得到点到直线距离的这个结果了。好，那么按照我们这个思路，我们一起具体写一下过程。首先，因为我们知道直线l的方程，那么直线l的斜率即为负的b分之a，因此直线PQ的斜率就应该是a分之b，已知1.1斜，写出直线点斜式方程，即为y减Y0等于a分之b倍的x减X0。那我们可以将这个方程整理为，bx减a，y等于b，x0减a，y0，再将其与直线l的方程连立。
老师：我们来观察这个方程，可以将一式乘a，2式乘b，然后两式一相加，y就能被约掉。剩下什么呢？a的平方加b的平方倍的x等于b方，x0减a，b，y0减aC。再一项就可以写出x等于a方加b方，分之b方，x0减a，b，y0减aC。同理，我们还可以将方程一式乘b，2式乘a，然后两式再以相减，就可以消掉x。
老师：那y等于什么呢？应该等于还是分母a方加b方分子，注意，一是减，二是所以是负的abx0加a方Y0减BC。这样我们就得到了q点的坐标。横纵坐标都是这么大长的一个式子，有了PQ二点坐标，PQ线段的长度由两点间距离公式，横坐标差的平方加上纵坐标差的平方在开方。那下面我们来整理一下这个式子。
老师：我们先看第一个括号，可以通分。分母是a方加b方分子，我们写一下前三项保留是b的平方x0，减aby领减aC。然后减a方X0，减b方X0，约掉了，那剩下什么呢？三项负的a方X0减ab，y0减aC，然后整体的平方。
老师：第二个括号，同样的我们不写，一起来看。分母还是a方加b方，分子前三项保留，然后减a方Y0
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