老师：同学们好，我是北京景山学校高中数学教师于宏伟。今天我和大家一起继续研究运用空间向量解决立体几个中的问题。前一节课我们研究了运用空间向量解决立体几何中的位置关系。这节课我们继续研究运用空间向量解决立体几何中的度量问题。一起来看这个例题。如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD时，正方形侧棱PD，垂直底面ABCD，PD等于DC点e是PC中点做EF，垂直PB交PB于点F。第一小问，求直线PA与BE所成角的大小。第2小问，求直线PA与平面DEF所成角的正弦值。
老师：先来看第一小问，如何用空间向量求直线PA与BE所成角。如果要用空间向量来求两条直线所成角，我们会考虑通过计算两条直线的方向量所成角来解决，那也就需要通过计算直线PA和直线be的方向浪的数量积来解决。那么，直线PA与直线BE的方向量的夹角和直线PA与BE的所成角有什么差异？我们知道它们的范围是不同的。向量的夹角可以是钝角，其范围是0度到180度。而直线与直线所成角不会是钝角，其范围是0度到90度。也就是说，如果我们用向量PA和向量BE的数量积来算其夹角余弦值，结果如果是负数，我们就需要取其正值作为直线PA和BE所成角的余弦值？那么如何计算向量PA和向量BE的夹角余弦值？这从前面运用空间向量判断图形的位置关系的过程一样，仍然有两条思路，一是通过积向量来解决，二是建立坐标系来解决。
老师：如果我们同前一节儿一样，还选用向量DA向量DC，向量DP作为迹向量来表示一下这两个向量。我们先来看向量PA，这个很容易表示，直接就可以写出等于向量DA减向量DP，这已经就得到了向量PA的计向量表示。再来看向量be，我们可以写作向量bc加向量ce，我们注意向量bc是向da的相反向量，而向量CE可以写成1/2倍向量CP，进一步，向量CP可以写成向量DP减向量DC，这样我们就得到了向量BE的激向量表示为负向量DA加1/2向量DP减向量DC。有了两个向量的激向量表示，就可以通过激向量的运算来求两个向量的数量积。进一步求出两个向量的模，就可以得到两个向量的夹角了。我们给出向量法解答的完整过程。首先，因为PD垂直底面ABCD，所以PD垂直AD，PD垂直DC，又因为底面ABCD为正方形，所以AD垂直DC。这样我们就得到了三条直线，两两垂直，那么选其方向量作为激向量，就可以得到激向量之间两两数量积为0。
老师：接下来由刚才的分析，我们已经得到了向量PA、向量b的激向量表示，我们就可以验算两个向量的数量积。将其展开共有6项，第一项为向量da与负向量Da的数量积。第二项为向量da与1/2向量DP的数量积。第三项为向量第a与-1/2向量dseed数量积。第四项为负向量da与负向量dp的数量积。第五项为负向了DP与1/2向量DP的数量积。第六项为负向量DP与-1/2向量dseed数量积。同样由激向量之间两两数量积为0。这个式子
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