老师：同学们好，我是北京景山学校高中数学教师于宏伟。今天我和大家一起继续进行空间向量与例题几何这一章的复习。小结。前一节课我们总结了在知识层面运用空间向量研究立体几何的过程。我们运用空间向量的平行和垂直刻画了立体几何中的平行垂直的位置关系。运用空间向量的夹角计算了立体几何中的角度，利用空间向量的投影解决了立体几何中的距离问题。我们还总结了在方法层面运用空间向量研究立体几何问题的思路，得到了向量法和坐标法研究立体几何问题的一般步骤。
老师：接下来我们通过一道例题巩固总结过的知识和方法，一起来看一下。如图，在四棱锥PABCD中，PA垂直底面ABCDAD垂直DCAD平行BC，PA等于AD等于DC等于2，BC等于4，e为PD的终点点f。在线段PC上满足PC等于3倍的PF，共有3小问。第一小问，求证平面AEF，垂直平面paC。第2小问，求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值。第三小问，求点d到平面AEF的距离。想一想如何运用我们前面总结的空间向量研究立体几何问题的知识和方法来解决这些问题。先从整体上分析一下题目的信息，看看对应空气象轮中的哪些知识和方法。第一小问，要证明平面与平面垂直如果运用空间向量来解决，一般思路是证明两个平面的法向量垂直。第二小问求平面与平面的夹角。如果用空间向量来解决，一般思路是计算两个平面的法向量的夹角。第3小问要求点到平面的距离。如果用空间向量来解决，我们的一般思路是计算向量在平面法向量上的投影，求其投影向量的长度，这样来解决。这么看seven都涉及计算平面的法向量。从前面的学习中我们知道，一般用空间向量来解决立体几何问题就是两种方法，一是向量法，二是坐标法。耳球平面的法向量向量法是不方便的，通常是采用坐标法，通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积解方程组求平面的法向量，而这里seven都射击平面都要求平面的法向量。自然我们选择坐标法。现在方法选择了采用坐标法，那就要建立合适的空间直角坐标系。
老师：回想一下，建立空间直角坐标系的关键是什么？建立空间直角作弊器的关键时，要寻找三条直线两两垂直的位置关系。如果能够从图形中找到恰好满足条件的直线，那么就可以以这些直线作为坐标轴来建立空间直角坐标系。如果找不到这样的直线，就需要做一些辅助线来实现。
老师：在选择间隙位置的时候，为了解决问题方便，通常我们需要考虑哪些因素？一般情况下，如果坐标系有多种选择，我们要考虑的是首先让尽可能多的点落在坐标轴上和坐标平面内，对于不能保证落在坐标轴上和坐标平面内的点，也要尽量这些点坐标便于写出。因为是采用坐标法，一般会计算向量的数量积，所以在保证可以方便地写出点的坐标时，坐标的选择应尽量方便空间向量的坐标运算。
老师：基于这些分析，针对这个问题的图形应该怎样来建立空间直角坐标系？我们一起来看一下。题目中有AP垂直，底面给出的线面垂直就可以得到线
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