老师：同学们好，我是北京景山学校高中数学教师于宏伟。今天我和大家一起研究应用空间向量解决现实和立体几何中的一些问题。首先我们研究应用空间限量解决实际问题，空间限量在实际生活中有广泛的应用，我们一起来看下面这个问题。如图所示，为某种礼物降落伞在匀速下落过程的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子与水平面所成角均为60度，已知礼物的重力为9.8牛球，每根绳子拉力的大小。要解决这样的实际问题，该如何着手？首先分析一下问题中的条件，看看能得到哪些信息。这里说降落散在匀速下落，这告诉了我们什么信息，物理知识告诉我们，物体匀速下落时，所受合力为零向量，也就是礼物所受的拉力总和与其自身的重力平衡。再来看，有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子与水平面所称角均为60度。从这里我们可以得到哪些信息？这里描述了图形对称的结构特征，也就是说研究清楚一根绳子的情况就可以了。共有8根绳子，那么每根绳子的拉力在竖直方向的分量大小就等于重力大小的1/8。这里说每根绳子与水平面所成角均为60度，反映在图形上是什么？也就是说，每根绳子所在直线与水平面所成角为60度，那么其拉力与水平面向上的法向量的夹角就为30度，这样我们得到了每根绳子的拉力与其在数值方向上分量的关系。只要能求出拉力在数值方向分量的大小，就可以得到拉力的大小了。下面我们一起看一下如何运用空间向量来表述这一解答过程。
老师：首先来转化条件，设水平面向上的单位法，向量为向量n，其中DI根绳子的拉力为向量FI，这样我们就可以得到向量FI在向量n上的投影向量。因为绳子和水平面所成角为60度，所以向量FI和向量n的夹角为30度，这样我们就可以得到向量FI在向量n上的投影向量的大小为2分之根号。
老师：3向量FI的模，因为每个向量Fi的模都相等，所以我们可以都记作向量F1的模，这样就可以得到每根绳子的拉力在竖直方向上的分量大小为二分之，根号3倍向量F1德末，所以8根绳子拉力的合力大小就为4倍。杠二三向量F1得摩尔，因为降落伞匀速下落，所以拉力的合力大小就等于重力的大小。这样我们就可以得到这个等式。代入数值就可以计算得到向量F1的模约等于1.41牛，所以每根绳子的拉力大小约为1.41牛。这样我们就通过空间向量给出了这个实际问题的解答。
老师：回顾一下是如何解决这个实际问题的。对于实际问题的解决，通常我们先将其抽象为数学问题，通过对数学问题的求解得到实际问题的解释。这里的实际问题是降落伞匀速下落时，每根伞绳的拉力问题，也就是研究所在礼物的受力问题。我们将礼物的受力分析可以转化为空间向量的线性运算，因为物体匀速下落，其所售合力为零向量，也就是8根伞绳的拉力的合力与重力是相反向量。
老师：找到了问题中涉及的向量之间的关系，问题自然就解决了。我们小结一下运用空间向量求解实际问题的一般
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