老师：同学们好，我是北京景山学校的数学教师刘星华。上面一节课我们学习了用空间向量求距离，本节课我们继续学习用空间向量研究夹角问题。夹角问题是立体几何中另一个重要的基本度量问题，角度是对两个方向差的度量，向量是有方向的量，所以用向量研究角度问题具有其独特的优势。我们来看这样一道问题，如图，在棱长为一的正四面体ABCD中，m、n分别为BCAD的中点。第一问，求直线AM与CN夹角的余弦值。
老师：第2问，求直线CN与平面BCD所成角的正弦值。在这道题目中，我们要解决两个问题，一个是求直线与直线的夹角，一个是要求直线与平面所乘的角。根据立体几何学习，我们知道两条直线的夹角。直线与平面所乘的角是立体几何中非常重要的夹角问题。今天我们的任务就是用空间向量方法来研究这两类角的求法。首先第一个问题，如何用空间向量求两条直线的夹角。为了我们研究的顺利，我们本节课规定一下两条直线夹角问题的研究路径，可以这样来进行，首先我们一起要回顾一下两条直线夹角的定义，明确两条直线夹角的取值范围，进而讨论两条直线夹角的向量求法。两条直线加点定义应该从它们的位置关系入手。
老师：空间中两条直线可以有平行相交和翼面，对于平行直线，我们是规定它们的夹角为0度，那么对于相交直线和翼面直线，它们的夹角定义大家可以一起来看一下。我们发现在这个定义中，我们是将空间中两条翼面直线的夹角通过平移转化为平面内的两条相腰直线的夹角。也就是说，在整个定义中，其实平面内两条相交之间的夹角定义是核心的地位。我们来一起读一下。平面内两条直线LI、L1、L二相交形成四个角，其中不大于，90度的角，我们称为L1与L2所乘的角或夹角。我们将空间中的翼面直线通过平移转化为相交直线来定义，这也体现了我们在解决立体检衡问题中经常用到的从高维向低维转化的思想。有了这个定义，大家是不是就该明确了空间中两条直线夹角sit的取值范围？综合一下，我们会发现角Theta应该是大于或等于0度，同时也要小于或等于90度。接下来请大家思考两条直线的夹角Theta与它们方向量夹角有什么关系？我们规定直线L1的方向向量记为向量优，直线L2的方向向量记为向量v。在图上，如果我们这样来取向量u和向量v，那么同学们就会看出来了，角Sita和向量UV向量夹角是相等的，那还有没有其他关系呢？没错，有同学说，我如果把向量u的方向取的是相反方向，那么我得到的向量的夹角就和角seed之间应该不是相等，而是互补的关系。如果有了直线的方向向量u和向量v，我们就可以通过向量的数量积运算求出它们夹角的余弦值。
老师：那么这两个向量夹角的余弦值对应了角Sita的哪个三角函数值？如果在第一种关系下，一定是CosineTheta和它是相等的，那如果在第2种关系下，有同学说，根据诱导公式，我们就会知道CosineTheta应该是，等于负的向量优向量v加角余弦值。
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