老师：同学们好，我是北京景山学校的数学教师刘星华。今天我们一起学习用空间向量研究距离夹角问题。前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何、中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系。除了上述平行、垂直这些特殊位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、夹角等度量问题。现在我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题。在前面的学习中，对于应用空间向量及其运算计算距离与夹角的方法，同学们已经有了初步的体会。今天我们一起继续深入学习用空间向量研究距离问题。
老师：距离是欧式几何中最基本的度量。回顾立体核的学习，我们发现空间中的点，直线、平面之间的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、两平线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和两个平行平面间的距离。距离是这些几何要素之间的最短路径。除两点间距离外，其他距离问题都需要用垂直刻画，请大家思考能否把这些距离问题归类解决。
老师：首先，点到直线的距离，两平线之间的距离可以归结为一类，因为两平线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一直线的距离问题。其次，点到平面的距离，直线到平面的距离和两平行平面间的距离可以转化为点到平面的距离，这是因为后两者可以转化为直线上的点或者一平面上的点到平面的距离问题。所有的距离问题都可以归结为两眼间的距离。
老师：那么如何用空间向量研究距离，类比平面向量的知识？距离可以通过向量的模获得。我们前面学习已经知道空间中两点的距离可以转化为空间向量的模的计算。进一步的，除两点间距离外，其他的距离问题都需要通过垂直刻画。投影向量和勾股定理势必在这些距离的问题计算过程中发挥的重要作用。
老师：接下来我们逐个进行研究。已知p是直线ly一点，如何求出点p到l的距离？此时点p与直线l确定一个平面，只需要过点p做p，q垂直于l，垂足为q垂线段PQ的长路即为点p到直线l的距离。这里我们关于直线的描述给出下列条件，直线l的单位方向向量为向量u。在直线上给定一点a。
老师：如何利用这些条件来求出点p到直线l的距离？结合图形和已知条件，同学们一定会发现，在直角三角形APQ中，如果我们求出了AP和AQ，就可以用勾股定理求出PQ的长度。那么使用向量知识，我们可以通过求向量AP和向量AQ的模，得到AP和AQ的长度。我们的计取操作方式是，可以先求出向量AP，向量AQ就是向量AP在直线l上的投影向量，然后我们再利用勾股定理就可求出线段PQ的长度。
老师：如何表示向量AP在直线l上的投影向量AQ？根据投影向栏的概念，我们可以得到向量aq应该等于向量ap与向量u做数量积的倍数倍的向量u。如果这里我们把向量AP记为向量a，那么向量AQ就可以进一步简化写成向量a，点成向量优倍的向量优。从而我们就利用直线l的单位方向向量是向量u，可以得到向量aq的模式向量a与向量u数
查看隐藏内容
