老师：同学们好，我是北京景山学校的数学教师李健。今天我们继续来学习用空间向量研究直线、平面的位置关系。上节课我们讨论了空间中直线、平面、平行的向量表示，并用它们解决了立体几何中的一些平行问题。我们先来回顾一下由直线平面的平行关系，可以得到直线的方向向量。平面的法向量有什么关系？我们通过这个表格儿可以看到，当直线与直线平行、直线与平面平行以及平面与平面平行的时候，对应的向量表示分别是这样的，大家还记得吗？那么类似的在直线与平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量与平面的法向量之间又有什么关系？本节课我们就研究这些内容，我们先来看由直线与直线的垂直关系，可以得到这两条直线的方向量有什么关系。
老师：如图，我们设向量U1，向量U2，分别是直线L1和直线L2的方向向量。由方向向量的定义可知，如果两条直线垂直，那么它们的方向向量一定垂直，也就是说，L1垂直于L2，可以推出向量U1垂直于向量U2。反过来，如果两条直线的方向向量垂直，那么这两条直线也垂直，即由向量U1垂直于向量U2，可以推出直线L1垂直于直线L2。
老师：记，直线L1垂直于L2，等价于向量U1垂直于向量U2。由向量的数量积运算，可以得到向量U1，点乘向量U2等于0。下面我们再来看由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量之间有什么关系。如图，我们设向量u是直线l的方向，向量n是平面阿尔法的法向量。如果l垂直于平面Alpha，根据直线的方向向量和平面的法向量的定义可以知道，向量u平行于向量n，记l垂直于Alpha，能够推出向量u平行于向量n。反过来，如果向量u平行于向量n，那么直线l垂直于平面阿尔发记向量u平行于向量n，推出直线l垂直于平面Alpha。也就是说，直线l垂直于平面阿尔法等价于向量u平行于向量n。进一步由向量的共线定理可知，这个式子又等价于存在实数LAMDA，使得向量优等于Lambda向量n。
老师：下面我们再看由平面与平面的垂直关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？如图，我们设向量N1，向量N2，分别是平面Alpha和平面Beta的法向量。有法向量的定义可知，如果两个平面垂直，那么它们的法向量一定垂直，即平面阿尔法垂直于平面Beta，能够推出向量N1垂直于向量N2。反过来，如果两个平面的反向量垂直，那么这两个平面也垂直，即由向量N1垂直于向量N2，可以推出平面Alpha垂直于平面Beta，所以平面Alpha垂直于平面Beta等价于向量N1垂直于向量N2。进一步，由向量的数量计运算，我们可以得到向量N1点成向量N2等于0。
老师：前面的学习中，我们深刻感受到向量运算的作用。你同意向量是躯体，运算是灵魂，没有运算的向量只能起到路标的作用。因为有了运算，向量的威力无穷。这些说法吗？我们知道向量能够表示空间中的点，直线和平面，但是空间图形的位置关系，还有今后
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