老师：同学们好，我是北京市第五中学的王琦老师。在上一节课的学习中，我们类比平面向量基本定理，得到了空间向量基本定理。你能用自己的语言复数空间向量基本定理吗？我们一起来回顾一下。如果三个向量a，b，c不供面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的，有序实数组x，y，z，使得向量p等于x倍的向量a，加上y倍的向量b，再加上z倍的向量c。我们把由向量ABC构成的集合叫做空间的一个基底，向量ABC都叫做机向量。特别的，我们还介绍了单位正交基底和正交分解的概念。
老师：空间向量基本定理说明了空间中的任意一个向量都可以用激向量的线性组合唯一表示。下面我们就通过一个具体的例子来看一看在具体的空间图形中，如何将一个向量用三个给定向量的线性组合来表示。如图，m是四面体o，a，bseed棱，bseed终点点n在线段OM上，点p在线段AN上，且mn等于1/2的ON，AP等于3/4倍的AN。
老师：用向量OAOBOC表示向量OP。首先我们先来预判一下，向量OP一定能用向量OAOBOC来表示吗？答案是肯定的，因为四面体OABC这个条件说明了向量OAOBOC一定是不够面的，因此可以构成空间的一个基底，用来表示空间内的任意一个向量，当然也包括向量OP，这是由空间向量基本定理保证的。
老师：那么如何进行表示？我们还用不用像上节课探究定理的时候那样构造一个平行六面体？事实上，在具体的空间几何图形中蕴含着丰富的向量关系，我们可以充分的利用图形特征以及向量线性运算的运算法则，逐步将向量进行转化。比如，我们现在要表示向量OP，我们可以将向量OP放在三角形OAP中。由向量加法的三角形法则向量OP可以转化为向量OA，加上向量AP，接下来我们只需要继续转化向量AP就可以了。由于线段AP的长度是AN长度的3/4，由向量数乘运算的定义可知，向量AP就等于3/4倍的向量AN。
老师：对于向量AN，我们在三角形OAN中，由向量减法的三角形法则，向量an就等于向量on。减去向量OA，整理得1/4倍的向量OA，加上3/4倍的向量on。由于线段mn的长度等于1/2倍的线段on的长度，因此向量on就等于2/3倍的向量om。由于点m为线段b，seed中点向量OM就等于1/2倍的向量OB，加上1/2倍的向量OC。这一步，同学们也可以通过延长OM到点q，使得MQ等于OM连接BQ和CQ，构造出平行四边形OBQC得到整理式子，得到向量OP，就等于1/4倍的向量OA，加上1/4倍的向量OB，再加上1/4倍的向量OC，从而我们就完成了题目的要求。
老师：通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用激向量表示空间向量的方法？一般情况下，用激向量表示指定空间向量，我们可以结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将带球向量逐步转化为激向量，将未知划归为已知。将任意空间向量用激向量表示，对于
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