老师：同学们，大家好，我是北京市第二十五中学的数学教师刘威，今天很高兴与大家一起探究学习。在前面的课程中，我们学习了空间向量基本定理，建立了空间基底的概念，进而可以用基底来表示空间中任意一个向量，把空间向量的运算转化为机向量的运算。所以基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础。在平面向量中，我们以平面直角坐标系中的与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，进而把平面向量的运算划归为数的运算。类似的，为了把空间向量的运算也划归为数的运算，我们能否利用空间向量基本定理和空间单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量坐标与空间点的坐标的一一对应关系。今天我们就来研究这个问题。
老师：首先我们来看问题一类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？同学们先回忆一下平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包含哪些要素？这些要素又需要满足什么条件？同学们知道坐标系包含三要素，在平面直角坐标系中，它们分别是坐标原点o、互相垂直的两条坐标轴、x轴和y轴，以及单位长度。
老师：那么类比到空间直角坐标系，哪些变了，哪些又不变？是的，同样的有坐标原点o和单位长度，但是由平面到空间，由二维到三维，现在我们需要几条坐标轴了，它们的位置关系又如何？对，我们现在需要三条两两互相垂直的坐标轴，你能否给出空间直角坐标系的定义？我们利用单位正交机底的概念，可以这样理解，平面直角坐标系，在平面内选定一点o和和一个单位正交基底向量i、j，以o为原点，分别以向量i、j的方向为正方向，以它的长为单位长度建立两条竖轴，x轴、y轴。这样我们就建立了平面直角坐标系O，X，y。
老师：那么类比到空间直角坐标系，对，我们现在在空间选定一点o和三个基向量，怎么给他们命名？可以叫做向量IJK，那么它们的位置关系和长度又有什么要求？是两两互相垂直的单位向量。同样的，以o为原点，分别以向量i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度，建立三条数轴，x轴、y轴和z轴。这样我们就可以得到空间直角坐标系的完整定义了。在空间选定一点o和一个单位正交基底向量i，j，k，以o为原点，分别以向量i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴，x轴、y轴、z轴。它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系，o，x，y，z，其中o叫做原点，j、k都叫做坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，它们分别是XOY平面、YOZ平面和Zox平面，他们把空间分成八个部分。
老师：那么空间直角坐标系我们该如何画呢？我们在平面直角坐标系画法中，是让在平面内画两条与单位正交基底向量方向相同的数轴，x轴、y轴，它们互相垂直，原点重合画空间直角坐标系就是在x轴、y轴基础上再画一个与它们都垂直的z轴。所以我们不妨借鉴立体几何当中学习的斜
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