老师：同学们好，我是北京市第五中学的王琦老师。在前两节课的学习中，我们类比平面向量，给出空间向量的概念及其运算法则、运算率。本节课我们将在前两节课的基础上类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理。首先我们来复习一下平面向量基本定理的内容。
老师：若向量E1、E2不贡献，我们把由向量E1、E2构成的集合叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。平面向量基本定理说明了平面内的任意一个向量都可以通过这个平面内两个不贡线向量的线性运算来表示，而且这种表示方式是唯一的。那么空间中的任意向量能不能通过有限的向量的线性运算来表示？这就是空间向量基本定理要说明的问题。为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？2个不贡献的向量还够用吗？显然是不够用了。空间向量供面的春药条件告诉我们，如果两个向量ab不供线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数。对xy，使向量p等于x倍的向量a加上y倍的向量b，这就是说两个不贡献的向量通过线性运算，只能表示与其供面的向量，无法表示与其不供面的向量。看来我们至少需要三个向量。那么任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？同学们不难想到，这三个向量如果共面的话，仍然无法表示与其不共面的向量。如果这三个向量不共面，是否可以通过线性运算来表示空间的任意向量？我们不妨试试看。
老师：我们先取三个两两垂直的向量IJK，显然它们是不共念的。由于向量具有可平移性，我们令表示它们的有向线段都以点o作为起点，g以o为起点的向量ij所确定的平面为阿尔法。那么对于任意一个空间向量p，我们做向量op等于向量p，如何用向量i，j，k来表示向量p？不难想到，我们可以过点p做平面Alpha的垂线PQ垂足为q，向量OQ就是向量p在平面阿尔法内的投影向量。根据向量加法的三角形法则，我们可以得到向量OP就等于向量OQ加上向量QP。其中向量OQ、向量i和向量j确定的平面内，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对xy，使得向量oq等于x倍的向量i加上y倍的向量j，而向量q，p与向量k是贡献的，由向量贡献的充要条件可以知道存在唯一的实数z，使得向量qp等于z倍的向量k。于是向量o，p就等于x倍的向量i加上y倍的向量j，再加上z倍的向量k。看来向量p的确可以用向量IJK的线性运算来表示，而且从刚才的过程来看，这种表示方式也是唯一的。
老师：我们称x倍的向量i，y倍的向量j和z倍的向量k分别为向量p在向量i，j，k上的分向量。我们也可以进一步将图形组成一个长方体，将z倍的向量k平移至以o为起点的位置，则这三个分向量就分别对应着长方体的从同一个顶点o出发的三条棱向量。OP就对应着从这个顶点出发的长方体的一条体对角线。一般情况下，对于任意给定的空间向量p，我们都可以通过上述方法进行分解。我们来看一下GGB的演示，如图。
学生：三条蓝色的有向线段
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