老师：同学们好，我是北京市第五中学的数学教师李柱。上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些简单的立体几何问题。我们知道平面向量除了线性运算外，还有数量积运算。平面向量的数量积运算在研究距离、角度等几何问题时有非常广泛的应用。今天我们就继续类比平面向量的数量积运算，学习空间向量的数量级运算。
老师：本节课要解决的第一个问题就是如何类比平面向量的数量级运算，把它推广到空间当中。为此，我们先来回顾学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的。当时我们先定义了两个向量夹角的概念，在此基础上定义了两个向量数量积运算，并研究了它的运算率。最后用数量积运算解决了平面几何中的一些简单问题。那么什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？如图，平面内两个非零向量a，b在平面内任取一点o做o，a等于向量a，OB等于向量b，则角AOB叫做向量a和向量b的夹角。我们用尖括号的形式表示两个向量的夹角，并规定两个向量的夹角大于等于0，小于等于派。如果a和b的夹角等于二分之派，那么我们说向量a和向量b互相垂直，记作向量a垂直于向量b。由于任意两个空间向量都可以通过平移成为同一平面内的两个向量，因此空间向量夹角的概念可以完全类比平面向量进行推广。
老师：对于两个非零的空间向量a和b，我们仍然在空间中任取一点o做OA等于向量AOB等于向量b，则角AOB叫做限量a和限量b的夹角，它的技法范围以及垂直的概念也都和平面向量夹角完全一致。有了空间向量夹角的概念，我们就可以把数量级运算从平面向空间进行推广了。我们先回顾一下平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量给出空间向量数量积的运算吗？两个非0的平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，也就是向量a和向量b的数量积等于向量a的模乘以向量b的模，再乘以cosinea和b的夹角特别的0向量与任意向量的数量积为实数0。
老师：就像我们得到两个空间向量夹角的概念是一样，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此我们可以用与平面向量完全相同的方式来定义空间向量的数量积运算。我们仍然把向量a的模乘以向量b的模乘以cosa，b的夹角叫做两个空间向量a和b的数量积仍然规定0，向量与任意向量的数量积为实数。0与平面向量的数量积运算一样。由定义，我们容易得到关于空间向量数量级运算的两个结论。第一个结论，若向量a和向量b是非零向量，则a和b垂直等价于向量a与向量b的数量积为0。我们经常用这个结论来证明空间中的垂直关系。第二个结论是向量a与线量a的数量积。特别的，我们可以用向量a的平方来表示。根据定义，它等于向量a的模，乘以向量a的模，再乘以cos向量a与向量a的夹角。由于相等向量的夹角为0，从而余弦值为一，所以我们得到
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