老师：同学们好，我是来自北京市第二十二中学的数学教师汪敏。今天我们一起学习任意讲。我们知道现实世界中存在着各种各样周而复始的变化现象，而圆周运动就是这一类现象的代表。如图所示，圆o上的点p以a点为起点作逆时针方向的旋转，如何刻画p点位置的变化？如果我们连接OA和OP，我们就会发现p点的运动会带动OP的旋转，进而与射线OA形成一个夹角加角Alpha一旦确定，p点的位置就随之确定，所以我们可以用角来刻画p点的位置。
老师：在初中我们就学习过角的概念，你还记得它的定义吗？我们把有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，这是一种静态的定义，因为静，所以只能描述0度到360度之间的角，具有非常大的局限性。那么生物当中有没有超出0度到360度角的例子？请你举例说明。同学们可能会举出体操比赛中有前空翻转体540度，后空翻转体720度这样的例子。在这里，540度和720度从数量上已经超出了0度到360度的范围。不光如此，前空翻转体和后空翻转体还同时描述了不同的旋转方向。还有同学能举出两个齿轮咬合在一起的例子，主动轮带动被动轮一起旋转，显然它们的旋转方向是不一样的。如果两个齿轮的半径不一样的话，它们的旋转量也会不同。这两个例子都深刻说明了0度到360度之间的角已经完全不能解决生活中的问题，那么我们有必要将其扩展，不光要考虑旋转量，还同时要考虑旋转方向。这样我们就有了高中角的定义。
老师：我们把一条射线绕其端点旋转型的图形叫做角，其中射线的起始位置称之为始边，射线的中指位置称之为终扁。并且按照旋转方向的不同，把角分为正角、负角和零角。其中一条射线绕其端点，按逆势人方向旋转形成的角就叫做正角。一条射线绕其端点，按顺时针方向旋转形态角就叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个菱角。
老师：这样我们在考虑了旋转量和旋转方向之后，就把角扩充到了任意角，显然任意角具有了动态的定义，不光考虑了脚的结果，还考虑了脚的形成过程。给角添上符号，用符号来表示方向，这样就使角获得了类似于实数一样的数量特征，这也为角的运算埋下了伏笔。下面我们就任意一角做下面练习。
老师：如果图中的角AOB等于30度，角AOB1=150度，角儿aOB2=60度，你能读出图中的这些角儿吗？先来看图1。我们说OA逆时针旋转两周之后，又潜进了30度，那么这时候它的角应该是两个周角，再加上30度，其结果应为750度。因为角AOB1的度数为150度，所以Alpha的大小应该是360度，减去150度等于210度，因为阿尔法是逆时针旋转而来，所以阿尔法的角应为正的210度。而Beta是由OA沿瞬时针方向旋转了150度而来，所以Beta角应为负的150度。
老师：再来看伽马角，OA瞬时人旋转到OB二，如果再前进60度的话，恰好是两个周角，所以它的大小应为720度，减去60度，等于660度。但因为伽马角
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