老师：同学们好，我是来自北京市广岐门中学教育集团的数学教师赵立艳。今天我们来学习幂函数。前面我们学习了函数的概念，利用函数的概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质。今天我们将利用这些知识来研究一类新的函数。首先请看下面几个例子。一、如果张红以亿元每千克的价格购买了某种蔬菜w千克，那么它需要支付p等于w元，这里p是w的函数。二、如果正方形的边长为a，那么正方形的面积s等于a的平方，这里s是a的函数。三、如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积v等于b的3次方，这里v是b的函数。如果一个正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长c等于根号s，这里c是s的函数。五、如果某人t秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度v等于t分之1千米每秒，这里v是t的函数。请同学们观察这5个函数的解析式，从解析式的结构特征看它们有什么共性。同学们注意，第四个解析式中的根号s可以表示为s的1/2次方，关于这个表示的转化，我们会在后面学习。此外，第一个解析是p等于w，可以写成p等于w的一次方。第五个解析是v等于t分之一，可以写成v等于t的-1次方。通过观察可以发现这些解析式都具有幂的形式。幂的底数为自变量，指数是常数，也就是都可以写成y等于x的阿尔法次方的形式，其中底数是自变量，指数，是常数。一般的，我们把形如y等于x阿尔法次方的函数叫做幂函数，其中x是自变量，阿尔法是常数。
老师：同学们有了幂函数的概念，你能举出一些幂函数的例子吗？像这样的例子有很多，比如y等于x的4次方、y等于x的-4次方、y等于x的4/5次方等等。同学们注意，幂的指数除了可以取整数之外，还可以取像4/5这样的其他实数。当指数取其他实数时，对应的me也有各自的含义。这些我们会在后面学习。
老师：me函数y等于x的阿尔法次方，我们只研究Alpha等于1231/2-1时的图像与性质。接下来请同学们结合初中学习一次函数、二次函数及反比例函数时的经验及前面学习的函数知识，思考研究一类函数的一般路径是什么。首先通过对生活中的实例进行抽象，得出某一类函数的概念，然后根据函数的解析式求出函数的定义域，画出函数图像。在画图的过程中可以借助于初中学习的秒点法画图。然后根据函数的图像和解析式讨论函数的值域、单调性、基有性等性质，然后利用函数的图像及性质解决相关的应用问题。
老师：好，我们顺着研究函数的一般路径，接下来该画幂函数的图像了。关于这5个幂函数，其中y等于x，y等于x2次方，y等于x-1次方是我们熟悉的，请同学们在一个坐标系内画出他们的图像，并总结他们的性质。好，我们逐一来分析。首先看y等于x，这是一个一次函数，它的图像是一条直线，我们知道两点，确定一条直线，我取两个点，零零一秒点画出对应图像。好，接下来我们根据y等于x的图像和它的解析式来看一下它的性质。它的定域是r，值域是r，基偶性是激函数，单调性是在r
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