老师：同学们大家好，今天我们来上一节初三专题复习课，用数学模型解决实际问题。第二课时，首先让我们来了解一下这节课的学习目标，一、能够精读题目，并将实际问题抽象成数学问题。二、能够有序列举，完成最优解的检索，会验证解的合理性和最优性。三、在解决问题过程中进一步体会模型思想，应用数学知识去解决实际问题，常常需要在数学理论和实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是数学模型。建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，将有关的数量关系借助数学符号抽象概括成一个数学模型。在运用数学知识求解数学模型得到数学结论。
老师：最后把要求得的数学结论回归到实际问题中去分析，检验结论是否符合实际意义。对不符合的结果需要重新思考。在义务教育阶段中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程函数、不等式以及各种图表、图形等都是数学模型。下面我们看一个例题。例一，某学校准备购买若干篮球和排球，若购买一个篮球、两个排球，花费300元。若购买两个篮球、3个排球，花费510元。第一问，篮球和排球的单价各是多少元？第二问，该学校决定用1200元购买篮球和排球，至少买一个排球。在购买资金恰好用尽的情况下，可以有几种购买方案，下面请同学们按下暂停键尝试求解，5分钟后我们再继续学习。
老师：总价等于单价乘以数量，我们根据其中的两种购买方案，设每个篮球x元，每个排球y元，将文字语言翻译成符号语言得到2元。一次方程组解得每个篮球120元，每个排球90元。第二问，总金额刚好是1200元，需要至少买一个排球，我们该如何思考？可以从特殊情形入手看一看买一个台球是否可以，那就应该用1200-90元去购买篮球。
老师：篮球的单价为120元，因为1110不能被120整除，所以这种方案不可以继续由小到大列举，看看买两个拍球是否可以。那就应该用1200减去180元买篮球，因为1020不能被120整出，所以这种方案也不可以继续列举，买3个排球，买4个排球等等，分别验证剩余的钱数能否被120整除。我们将所有可能的方案有序列举，完成解的检索。同学们在解决问题时如果没有头绪，不知道用什么数学模型解决，就可以从特殊的情形去着手，在数学探索过程中获得启发。
老师：本题再介绍一种解法，可以用字母表示数设，购买m个排球，n个篮球，由实际问题决定，m，n为正整数。因为刚好用尽1200元，我们可以列方程，9十m加上120N等于1200。这是一个二元一次方程，那么二元一次方程有无数多解。本题有实际背景，只有正整数节满足要求。所以这样一个实际问题就转化为求这样一个二元一次方程的正整数解的问题。将这个方程两边同时除以30，得到3M加4N等于40。用含m的代数式表示n即为n等于40/4-3m。现在我们只需要考虑m取合正整数时，n为正整数。这种形
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